最近(2020上半年)隨著各位越來越關注和這波肺炎有關的公衛消息，諸如「假陽性」、「偽陰性」這類和檢驗有關的術語再度躍入大眾視野。本期伍德說數帶你了解這些術語是怎麼回事，而我們又該怎麼理解它們和檢驗結果的關係。
一、難以避免的錯誤
在生活中，我們常遇到需要判斷的場合。或許是像此次疫情是否有染病的檢驗，或許是法官判案時必須決定被告是否有罪*1，也或許是當你看到一個可愛的腳色，得判斷是不是男孩子。通常我們都希望自己的判斷越準越好，但人非聖賢，沒有百分百的檢驗方式，錯誤就是會發生。以疫情快篩而言，結果是陰性的人真的沒染病嗎？判斷是陽性的人真的就中標了嗎？其實在沒有更詳盡的病理檢查前，我們永遠不知道。
就檢驗結果，我們可以分為以下四種情況*2：
|
實際上染病 |
實際上沒染病 |
| 檢驗染病 |
很棒*3 |
偽陽性(False Positive) |
| 檢驗沒染病 |
偽陰性(False Negative) |
很棒 |
(讀者可以自行將表格替換成「被告有罪；判決有罪」等等設定)
詳盡點來說，明明實際上沒染病，檢驗結果卻是染病(陽性)，這個陽性是錯誤的，我們稱為「偽陽性(假陽性)」。相反地，實際上染病，卻沒被檢驗出來(陰性)，這樣的陰性不對，我們稱為「偽陰性(假陰性)」。從防疫角度來說，我們比較害怕偽陰性發生。對於假陽性的個案，或許只是過度反應；但不小心放過偽陰性的個案，可能會造成疾病繼續傳染。
但並不是所有情況下，我們都比較擔心偽陰性。以司法例子來談，所謂的偽陽性就是「明明沒罪，卻被判成有罪」，再白話一點，就是冤罪。當然，能夠同時降低偽陽性和偽陰性是最好的，但現實往往受限於科技或訊息不夠而不允許。
我們再定義兩個名詞：
(1)靈敏度(Sensitivity)：碰到陽性的樣本，檢測出陽性的機率。(真陽性率)
(2)特異度(Specificity)：碰到陰性的樣本，檢測出陰性的機率。(真陰性率)
相信配合上面的表格，讀者可以理解下列的兩個式子：
靈敏度＋偽陰性率＝100%
特異度＋偽陽性率＝100%
由於靈敏度和特異度都是正確的判斷，我們希望它們越大越好。然而，考慮一下這個「檢驗法」：「管它來的是誰，判斷是陽性就對了」。這樣的結果下，靈敏度是最高的100%，但它是好的檢驗嗎？說難聽點，這根本不是檢驗，特異度在這個檢驗下是0(永遠沒有陰性的結果)。簡單來說，我們在日常生活中，是必須在靈敏度和特異度之間作取捨的。
那麼，這些數字跟檢驗結果有什麼關係呢？我們得談談所謂的「貝氏定理」(Bayes' theorem)
二、貝氏定理
你覺得明天下雨的機率多少呢？突然問這個問題，你可能會覺得沒頭沒腦的，但總會有個估計。或許是根據你過去的經驗，也可能是靈機一動。現在讓我告訴你，明天颱風會來，你覺得下雨的機率有沒有提高些呢？*4
像這樣，透過新的資訊修正機率的作法，在統計學中稱為「貝氏推論」(Bayesian Inference)*5。而貝氏學派奉為圭臬的，正是所謂「貝氏定理」(Bayes' Theorem)。
一開始在我還沒提供資訊給你時，你靈機一動給出的下雨機率，我們稱為「事前機率」(Prior Probability)；而在我給你資訊後，你更新的機率，我們稱為「事後機率」(Posterior Probability)。而貝氏定理正提供了各種事前及事後機率的轉換方法*6。
我們透過實際的例子來看看貝氏定理怎麼用。
Ex1：
我們知道某疾病的發生率是1%。現在有個快篩，有99%的機率成功檢驗出染病者(靈敏度99%)、而碰到未染病者，有98%的機率成功檢驗出未染病(特異度98%)。
那麼，今天碰到一位民眾檢驗出染病，他真的染病的機率是多少呢？
這個檢驗看起來如何？應該看起來不錯？靈敏度和精確度都快到100%了呢──真的嗎？
先注意，這個機率我們稱為這個快篩的「準確度」(Precision)，和靈敏度不一樣。
靈敏度是：給定樣本實際上染病(陽性)，檢測出染病(陽性)的機率。
準確度是：給定檢測出樣本染病(陽性)，實際上真的染病(陽性)的機率。
照著上面的表格，我們可以計算出下列四種情形的機率。
(a)實際上染病，檢測出染病＝0.01*0.99 (染病機率*檢驗染病者成功機率)
(b)實際上未染病，檢測出染病(偽陽性)＝0.99*0.02 (未染病機率*檢驗非染病者失敗機率)
(c)實際上染病，檢測出未染病(偽陰性)＝0.01*0.01 (染病機率*檢驗染病者失敗機率)
(d)實際上未染病，檢測出未染病＝0.99*0.98 (未染病機率*檢驗非染病者成功機率)
注意：(a)+(b)+(c)+(d)=1
那麼檢測出染病的機率，便是(a)+(b)了；而檢測出染病，實際上也染病的機率則是(a)。所以我們要的準確度，透過貝氏定理，便是(a)/[(a)+(b)]=1/3.
你沒看錯，明明看起來快篩的能力很棒，但實際上給定檢測出陽性，對方真正染病的機率只有不到一半的1/3。
為什麼？問題在於「染病的人太少了」*7。就算快篩真的很厲害，也能用很高的機率做正確判斷(上例的0.99和0.98)，碰到檢驗出染病者，很可能只是我們不小心犯了假陽性的問題而已。
這代表這個快篩沒價值嗎？不是的。在沒有快篩下，我們看到一個人只有1% V.S. 99%的機率判斷它染病；但透過快篩，看到染病的結果，變成33% V.S. 67%的機率，終究是有提升。而我們能做的，便是透過反覆測試，讓判斷的準確度提升，所以你才會看見許多病例都經過了「多次快篩」。因為只篩一次，準確度確實差強人意。
三、結論
我們這次簡單談了部分檢驗中常見的用語，並且使用貝氏定理，談到看起來很可靠的快篩，有可能不太準確。但快篩並非毫無價值，它依舊提供了我們資訊。貝氏定理簡而言之，便是透過資訊更新我們對現實的理解，進而做出推論與判斷。希望下次各位看新聞時，都能更理解偽陽性、偽陰性到底是什麼，及它們對準確度的影響(前提是我們記者朋友有用對這些詞語...)。
那麼我是伍德‧瓦懷特，我們下次見！
*1.這是以我國現行制度來說。而陪審團制度下法官只負責量刑。
*2.在談假說檢定時，我們會在稍微不同的設定下看到同樣的表格。
*3.我是說檢驗結果很棒，不是染病很棒。
*4.沒有的，麻煩按上一頁找地科老師(欸)
*5.與之相對則是由費雪(Fisher)等人為主的頻率推論(Frequentist Inference)，各位初等統計學大致都是跟著頻率學派走的，因為好理解很多。
*6.我不想在科普專欄裡真的把那公式寫下來。有興趣的讀者(或要考試的讀者...)請自行參照高中數學課本、初等統計學課本或其他網路資料。
*7.作者沒有希望染病人數上升的意思...
創作內容
假陽性？偽陰性？簡談貝氏定理
魔都妖探 (1)
