好久沒跟大家聊聊了，在前幾篇(這篇)跟大家聊過0.99...=1這回事，也在這篇跟大家談到數學家們現在看待無限，是有將其分級的。有的無限是可數的，有的則比其更多，不可勝數。今天我們來聊聊無限的另一個面向：無窮級數。所謂的級數(Series)，用白話說就是把數字加起來。如果加的數字有限多(有10項、1000項之類的都沒問題)，結果一定能算出來。問題是，要是我們加了無窮多項，結果會是有限的、還是無限呢？
另一個問題是，當我們加的數字有正有負，震盪的結果會擺向何方呢？當正方和反方的力量都很大時，甚至會發現我們從小看到大的交換律(先加誰沒關係)竟然失靈了。更多關於無窮級數那些事，讓我們繼續看下去。
一、天長地久的級數──有時盡還是無絕期？
(以下我們先假設級數內每一項都是正的)
小學時，大家應該都算過1+2+...+100=5050吧？這個100項的級數雖然越加越大，但因為我們知道終點，就算不照高斯的作法算等差級數，還是知道加出來是有限的。相反地，要是請各位算1+2+...到無窮無盡，大家大概也很明顯能看出結果是無限大，畢竟加進來的數字越來越大，怎麼可能會停下來呢？
這個直覺是對的。我們可以用白話這麼說：一個級數要收斂，加的數字應該要越來越小，且要趨近於0。
另一方面，先前提到1=0.99...，其實我們也能把0.99...寫成0.9+0.09+0.009+...。由於我們知道它就是1，表示這麼加下去到無窮，是會停在1的。就像上面說的，加的數字越來越小，且趨近於0。這樣來說加無窮多項沒關係，只要越加越小就好？那也不一定。
我們看看這個級數：1+1/2+1/3+1/4+...，它也是每一項越加越小。事實上，它還有個「調和級數」(Harmonic Series)的美稱。但早在十四世紀，數學家們就知道它會發散(Diverge)。用白話來說，它會加到無窮大，不會停下來。證明方法很簡單，只要證明它比無窮大還要大就好。
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
> 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+...
= 1+1/2+1/2+ +1/2+...
而最後一列很明顯會加到無窮大(一堆1/2相加)，所以調和級數會發散。
像這樣透過和已知會發散(或收斂)的級數來比較，藉以判斷究竟會發散還是收斂的手法，我們稱為「比較審歛法」(Comparison Test)。有兩種形式(其實是一體兩面)：
(1) 如果一個級數每項都比另一個發散的無窮級數大，則原本的級數會發散。
(2) 如果一個級數每項都比另一個收斂的無窮級數小，則原本的級數會收斂。
簡單來說，比無窮大還要大，那肯定是無窮。比有窮還要小，那肯定是有窮。而反過來是錯的，例如比無窮大還要小，可能還是無窮大，也可能是有窮的。那時我們就需要其他的方法來判斷*1。
二、冪級數(Power Series)
既然可以透過比較來判斷級數是否收斂，那麼能夠用來比較的基準自然是多多益善了。其中一種標準是「等比級數」，像是0.9+0.09+0.009+...，每項都差一個共同的倍數(公比，這個級數的話是0.1)。如果公比介在1和-1之間(端點不算)，那這個級數就會收斂，反之則會發散。
另一種常用的標準則稱為冪級數(Power Series)。所謂的「冪」指的其實就是次方。他們有著以下的形式：
1/1^p+1/2^p+1/3^p+...，其中^p表示p次方。
白話來說，當p=1時，它就是調和級數1+1/2+1/3+...，而當p=2時，它是1/1^2+1/2^2+1/3^2+...=1+1/4+1/9+...。
透過積分，我們可以知道當p<=1的時候，冪級數會發散(p=1就是調和級數，會發散)；相對地，當p>1的時候，冪級數會收斂。
事實上，當p=2時，1+1/4+1/9+...=(pi^2)/6，其中pi是圓周率。你沒看錯，圓周率跑出來了。這個問題在數學上被稱為巴塞爾問題(Basel Problem)，由歐拉(Euler)在1735年初步解決*2。從此類問題還延伸出黎曼函數、黎曼猜想等等到現在都還困擾著數學家們的難題。
三、正負震盪後的結果
在這節我們談談另一種問題。要是級數內不像先前談的都是正的，而有正有負，那又會如何呢？
舉例來說，1-1/2+1/3-1/4+...會收斂，還是發散呢？
像這樣一正一負的級數，我們稱為交錯級數(Alternating Series)。目前最簡單判別它是否收斂的方法如下：
如果這個交錯級數：
(1) 每項的絕對值越來越小 (2) 每一項收斂到0
則它會收斂。
例如說，我們上面提到的1-1/2+1/3-1/4+...，每一項的絕對值越來越小(1、1/2、1/3、...)且收斂到0，所以它是收斂的。須注意的是，邏輯上違反前面兩項，也不代表就不會收斂，只是我們沒辦法用這個測試法而已(對，我們又需要其他的測試法)。事實上，1-1/2+1/3-1/4+...=ln 2。這裡ln是自然對數。而ln 2=0.69...。求和需要其他微積分技巧，我們暫且按下不談。
有趣的是，我們從國小就學到交換律，告訴我們先加、先減誰是沒關係的。但是，1-1/2+1/3-1/4+...中，正的部分是1+1/3+1/5+...、負的部分是-1/2-1/4-1/6-...，兩個都是無限大*3。我們甚至可以重排這個級數，讓和收斂到我們想要的任何數字，例如3。方法基本上是先排正的數字，當加到超過3時(因為正的部分會加到無窮大，沒問題)，換排負的數字，等到比3還要小時，再換正的數字，重複這套流程，最後排出的結果會收斂到3。
為什麼交換律會「失效」呢？原因在於這個級數會收斂到0.69...純粹是正負的力量「差不多大」而拉鋸的結果。如果我們不看正負，只看振福(絕對值)，這些振福的總和是1+1/2+1/3+...，我們知道它是無窮大。像這樣的級數，我們稱為條件收斂(Conditional Convergence)，表示它的收斂來自正負兩個都很大的力量相抵；相對地，要是將振幅合計起來都會收斂的級數(像是1-1/4+1/9-1/16+...)，我們稱為絕對收斂(Absolute Convergence)。針對條件收斂的級數，重排會影響和；而對於絕對收斂的級數，再怎麼重排，和也不會變。
四、結論
今天我們很概略地談了無窮級數。當一個級數越加越小，它有可能會收斂，有可能不會。先前看過的0.99...就是會收斂的例子，而調和級數則是發散的例子。我們可以透過和已知收斂或發散的級數比較來判斷級數的性質，其中常用的是等比級數和冪級數。
另一方面，當級數內正負震盪，我們稱為交錯級數。它的收斂可能是因為振幅合計本來就很小(絕對收斂)，也可能是正負兩股力量相抵的結果(條件收斂)。當一個交錯級數是條件收斂時，加減的順序就非常重要，重排是會影響答案的。
那麼幾期關於無限的問題，我們就聊到這裡。在伍德想到下次可以跟大家聊什麼數學之前，先祝大家2021一切順心。我們下期伍德說數見！
*1. 請參閱微積分課本關於級數的章節，這裡暫且不提。
*2. 巴塞爾則是歐拉的家鄉。
*3. 讀者可以自己試著證明看看。
達人
