比大小是我們從國小開始就常在做的事情，如果問大家一個月和一週，哪個天數比較多，相信答案沒什麼好懷疑的。但真要說起來，比大小有時並不容易。大家覺得自然數(正整數：1、2、3...)和整數(1、2、3...和-1、-2、-3...)哪個誰比較多呢？乍看之下，兩個都是無限多，但好像整數又多了一點，畢竟裡面多了一堆負數，但實際上，在數學家看來，
一旦牽扯到無限，許多事情就開始有點反直覺了。承繼上次的無限話題(
0.99...=1)，今天的伍德說數繼續帶大家來談數學家眼中的無限──
有的無限，是比無限更加無限的無限。
一、希爾伯特的無限旅館
希爾伯特(Hilbert)是十九世紀末到二十世紀初的數學家，他曾在1900年的第二屆國際數學加大會，針對當時數學的發展提出「23個問題」*1。當中有一些問題已被解決，但也有不少毫無進展。其中的第一題是我們稍後會談的連續統假設(Continuum Hypothesis)，是關於「無限大小」的問題。
他在談到無限概念時，最喜歡舉無限旅館的故事當例子。這間無限旅館正如其名，有著無限多間房間，從1號房、2號房開始，每間單人房都住了一位房客。若今晚就這樣渡過倒也沒什麼問題，問題就在於深夜時，伍德拖著行李來投宿。作為經理的你，能不能想個辦法，喬間房間給伍德住呢？(拜託，不要讓伍德流落街頭。)
乍看之下好像不難，反正有無限的房間，那就再開一間就好。問題在於要開哪間？開了10000號房，當中原本就有房客了，就算請那位房客搬出來，讓伍德住進去，也只是多了位沒房子住的房客而已。因為旅館有無限多間房，也找不到「最後」的房間。這間無限旅館目前沒有空房，難道真的沒辦法再容納人了嗎？
事實上不是。經理只要請1號房的房客搬到2號房、2號房搬到3號房，持續下去，n號房的房客搬到n+1號房。因為有無限多間房間，每個房客都有房間能搬，這樣就能空出一號房給伍德了。至於經理隔天被客訴就不關伍德的事情了。
好吧，來一個人能解決。同樣的概念，來100個人同樣沒問題。問題在於隔天晚上，飯店門口來了一列無限列車*2，上面有無限多位乘客。經理有辦法讓他們讓他們都住進旅館裡嗎？
依樣畫葫蘆，我們也想讓1號房的房客往後住，但這招這次沒用，因為來的乘客有無限多位，沒辦法請1號房的房客住到「無限號房」去。然而聰明的(?)經理還是想出了辦法。
他請1號房的房客住到2號房、2號房的房客住到4號房、3號房搬到6號，n號房的房客住到2n號房去。如此一來，所有的奇數房就被空下。無限列車上第一名旅客住到1號房、第二名住到3號房，依此類推，這樣所有人還是都有地方住。
這個故事告訴我們什麼呢？在第一個例子中，我們發現無限+1還是無限；不只如此，第二個例子告訴我們無限+無限還是無限，不會變得更多。旅館原先的旅客和列車上的旅客都有房間住。這就誕生個問題：到底無限大的數目是多少？
在繼續往下談前，讓伍德推薦一下下面關於希爾伯特旅館的動畫。裡面還談了要是有「無限列無限列車」該怎麼辦。
二、一個都不能少
對於有限的事物，比大小、比多少相當自然，數有幾個來比就是了。當碰到無限時，我們同樣用「數數」的概念來解決。一個集合內的元素，如果能被一個不漏地數出來，就表示它跟自然數(正整數)一樣多。
我們回到本文一開始的問題，整數(1、2、3...、-1、-2、-3)能被數出來嗎？答案是可以的。當然，我們不能先數完正的，再數負的，因為正數還是數不完。實際上我們要這麼做：
0、1、-1、2、-2、....
如此一來，所有的整數總有一天都會被數到。既然每個整數都能被數到，就表示正整數和整數的數目應該一樣多；隨便舉出一個整數(例如-8763)，照上面的數法總會被數到。雖然整數看似多了些正整數沒有的東西，但沒關係，就算多了無限個東西，依舊有無限個正整數能對應它。整數中，正整數就像原先住在旅館中的房客，負整數(-1、-2、...)就像後來到達的無限列車旅客，而0就像最後到達的散客。經理總有辦法讓他們通通住到旅館裡。換句話說，兩個無限多的集合，就算其中一個集合包含了另一個，兩者的大小可能還是一樣。
好吧，既然整數其實沒有比正整數還要多，那[0,1]之間的有理數會不會比正整數多呢？這裡所謂有理數是指分母、分子都是整數的分數。所以像是1/2、63/87都包含在裡面。分母是整數，分子也是整數，上下都是無限的，應該能打敗正整數了吧？
很可惜，還不行。我們只要這樣數就好：
0、1、1/2、1/3、2/3、1/4、3/4、...
將分母由小到大排列，固定分母後我們數分子。如果碰到之前就出現過的分數就跳過(像是2/4=1/2)。
有理數還是跟正整數一樣多。像正整數、整數、有理數這些我們能數出來的無限多，我們稱為「可數的無限」(Countable Infinity)，其大小用ℵ0代表(Aleph zero)。
看到這裡，你可能就好奇了。既然有可數的無限，難道有不可數的嗎？是的，讓我們繼續看下去。
三、數不盡的無限
討論完有理數，很自然地我們會想問那[0,1]間的實數又如何呢？所謂實數簡而言之就是平方後大於或等於0的數*3。不只前面提到的1/2等等有理數，像是根號2、圓周率Pi都是實數，但後面的這些數沒辦法寫成分子分母都是整數的分數，被稱為無理數。雖然沒辦法寫成分數，但所有的無理數還是都能寫成無限小數，像是根號2的近似值就是1.41421...，「意思意思而已」寫一下。
有這層認識，我們先講這段的結論：[0,1]間的實數數不盡！這表示比起可以數的無限，還有種不可數的無限，比可以數的無限還要多！
證明其實不難，而且很巧妙。伍德給了個很酷炫的名字：對角線破壞法。
假設實數要是可數，我們就能列表。而就像先前說的，每個實數都能寫成無限小數，我們就有這張表，將所有[0,1]間所有的實數列出來：
一號數：0.a1a2a3a4...
二號數：0.b1b2b3b4...
三號數：0.c1c2c3c4...
那麼我們調皮一點，要是a1=1，我們將其換成2；2換成3，依此類推(9換成0)。當作小數點後第一位。用同樣的方法換掉b2(當作第二位)、c3(當作第三位)、d4...後，我們產生了一個新實數。它介在[0,1]間，卻不可能在表裡面：因為它的小數點後第一位和一號數不同，所以它不是一號數；它的小數點後第二位和二號數不同，所以它不是二號數；它的小數點後第N位和N號數不同，所以它不是N號數──它根本不在表內！但我們不是說這張表能列出所有的實數嗎？怎麼會有漏網之魚？表示實數根本就不可數。
像這樣，有著可數的無限(正整數、整數、有理數)，在上層也有不可數的無限(實數)，事實上再往上還有比實數還要多的無限。構造法稍微麻煩了點*4，伍德這裡就不談。但總而言之，永遠有著比無限還要大的無限。這也就是成語說的「人外有人，天外有天」。
另一個問題是，在可數的無限，和實數的無限中，有沒有其他的無限？簡而言之，能不能找到一個集合，它不可數，但是比實數少。這個問題被稱為「連續統假設」(Continuum Hypothesis；CH)。上回也有提到的康托就嘗試挑戰過這個問題，可惜沒有解決。
1940年，歌德爾初步證明
我們常用的數學系統無法證明連續統假設是真還是假(參見
歌德爾不完備定理)，結果在1963年得到進一步補強。簡單來說，要碼就接受它，把它當作公理；不然就說它是錯的，把反面當作公理。而現今一般的數學是在「
可數無限和實數的無限中，沒有其他無限」的前提下推導的。
四、結論
下一期的伍德說數，我們繼續來聊無限：無窮級數。無限多的數字加起來可能變成固定的數，像是0.9+0.09+0.009+...=1，也可能變成無限大，像是1+1/2+1/3+...。更神奇的是，你所熟悉的交換律(a+b=b+a)在碰到無限時，可能也會吃鱉。更神奇的無限，請鎖定下期的伍德說數。
*1. 為了向這次劃時代的23問題致敬，2000年時美國克雷數學研究所也提出7個未解問題，每一題值100萬美金。目前只有一個問題(龐加萊猜想)被認定解決。但說實在，能夠解決這些問題本身所帶來的名氣收益，和載入史冊的光榮，根本就不只100萬美金了。
*2. 不是X滅之X裡面那列，放心。
*3. 我不太想在這裡談實數建構，請有興趣的朋友參照分析導論課本。
*4. 例如[0,1]間實數射到[0,1]間實數的函數個數。
創作內容
數學家的無限想像(2)--突破無限的無限
魔都妖探 (1)
