自己的高中數學整理 -3- 圓錐曲線的歷史、Dandelin球、離心率與準線

這篇是此系列整理的最後一篇，高二下數學最後單元的二次曲線。

在學校上到這裡的課程時，我對於學校只關注二次曲線的方程式感到非常不能理解與接受。上網後看到很多文章講述二次曲線在學校課程之外的新奇性質。使我有所思考與感觸，想把這些啟發和我自己的延伸統整起來，同時襯出學校課程的狹隘。

文章用普通高中程度寫出，關於用到很多類似極限或微積分的概念與操作，以及其他物理數學相關的知識，可能有許多誤用，還請以寬容心態看過。

（內文以下列網站文章作為參考：

內文統稱以上文章為 見文）

另外，有截取幾個短句來自毛爾教授的書《毛起來說e》（博客來網頁連結）

我們早就已經很熟悉圓錐，至少在吃冰淇淋時都拿在手上。

雖然我們比較常做的是咬破甜筒餅乾，而不是用刀切過它。但是不管橢圓或是拋物線，我們在生活中的其他各處都會有意無意的遇到它們。

學校課本令人失望的只關注如何在題目裡寫出各自的方程式。但是透過幾何圖形的性質，我們可以看到它們在方程式之外的奇妙之處。對於圓錐曲線而言，方程式就像裝飾在香艷花朵上的緞帶；花朵才是麗色與芬芳的來源，緞帶需要時在繫上即可

圓錐曲線的歷史比起高二下前兩章的向量和矩陣，都要長了好幾千年，

早在解析幾何發現它們的方程式為二次式之前，古希臘數學家就已經用純幾何圖形研究完圓錐曲線的數學性質了，但是數學課本不意外的再次重蹈向量的覆轍，把近代的解析幾何當做圓錐曲線課程的主角。

圓錐曲線受到古希臘人的注意，是源於「古希臘幾何三大難題」的其中一題。

從古希臘數學開始，西方數學家喜歡研究數學的「公理化」。也就是相信數學可以用最簡單的幾個人為設定，便推導出所有的數學定理。

這些人為的「公理」是一些無從證明但所有人都默認正確的敘述，像是兩個點可以也只能連一條直線。雖然最後發現除了幾何領域外，不是所有數學都能完成這種理想，但是這種「化約到最精簡」的理念深入到各種學科研究領域。

因此，古希臘數學家致力於研究「尺規作圖」。用最簡單的圓規和直尺來畫所有的幾何題目。國中時應該對這課程印象深刻，很多麻煩的規定，用直尺還得要無視刻度。這是因為刻度是人類訂出來的，而且即便刻度看得再精準，終究會差一點點，而只用圓和直線交繪出來的圖形，才是幾何中最精準、最理想的。雖然當初古代無法做到這種理想，但是現在有了電腦，可以在電腦裡畫出理想中精準的圖形，這時用尺規作圖的觀念，就可以排除人看刻度時的誤差。舉例而言，想要一條長度為的線段，只要用尺規取出垂直的兩條1單位長的線段，再連接兩端點就可得出一條單位長的線段。如果拿著這張圖跟別人說這條線的長度是，他們應該會認同你，因為這是幾何圖形本身的定理。但是若是換成用直尺看著刻度畫出長度為1.414（或是更多位數）單位長的線段，應該大部分人都不會覺得這是真正的，頂多是很接近，但是數學告訴我們永遠不可能完全正確。

所謂「三大難題」，其實只要使用刻度就可以快速解決，但是數學家們不想妥協，他們始終相信這三題可以只用畫圓和直線解決。

首先說的是「三等分角問題」，國中時學過如何用尺規把角度二等分，當然四或八等分也可以，但是卻沒有學三等分，這是因為三等分除了特殊角（9°的倍數）以外是做不到的。

再來是「倍立方體問題」，這個問題就是圓錐曲線研究的源頭。傳說這個問題來自於429 B.C希臘一次瘟疫，太陽神阿波羅指示人們只要把阿波羅神殿體積大小增加一倍便可停止瘟疫，人們把神殿的邊長增加一倍，但體積卻增加了八倍，如果只把體積增加一倍，神殿又會變成長方體，人們無法解決這個問題，只好去請著名的柏拉圖解決，柏拉圖以為這個問題像用尺規把正方形面積增加一倍一樣簡單，但事實絕非如此。（此為維基百科的敘述，但是對照其他維基頁面，又互相有矛盾，在之後會詳細解釋）

最後是「化圓為方問題」（又叫方圓問題），給出一個圓，用尺規作出一個正方形，面積等於那個圓。

這三個作圖問題一直到近代才被完全證明不可能「只用無刻度直尺和圓規」做出，

但是在古希臘時，沒有人可以證明這不可能，所以只能相信它們「很難」。

用現代的代數可以推導出，只給一個單位長線段，可以作出什麼長度數字的線段，引用見文2的翻譯，把這些數稱為「可做數 」(Construcable Number, 或叫可造數)，而前兩個問題需要畫出的線段長容易證明不是可做數，因此知道不可能作出來。

一個可做數一定是某個整係數方程式的解，像是   的解，而它的整數次方或是重複開根號（也就是有理次方的分母是2的整數次方）也是可以做的。因此若是可做，它的平方π也可做，而它們也都會是某個有理係數方程式的解。從此，數字們又被做了分類，是整係數方程式解的數字叫做代數數，不是的叫做超越數，而要證明一個數字是超越數並不容易，直到1882年，德國數學家Lindemann（Carl Louis Ferdinand von Lindemann,  林德曼）證明π是超越數，因此π和都不是可做數，從此結束三大難題的證明。

首先，有理數m/n一定是代數數，因為它們是    的解。而無理數裡也有代數數，像是上面的，而也有其他無理數是超越數，像是上面的π，還有比較有趣的像是0.12345678910

11121314....（按照自然數排列）。另外也有虛數是代數數，像 i 就是 的解，也有虛數是超越數，像是πi。

所以說，在畫出數系的分支圖的時候，加進這個分類應該會變得很不方便。

倍立方體問題在古希臘衍生出了圓錐曲線研究。若有一個單位體積 a 的正方體，想要一個 2a 體積的正方體，就要做出它的邊長(單位長)，而這個數字是無法像一樣做出來的。

古希臘數學家希波克拉提斯（Ιπποκράτης ο Χίος , Ippokratis(Hippocrates), 470 - 410 B.C.），他被認為是第一個把幾何學知識統整寫成書的數學家，書名叫做「原本(Στοιχεία, Stihia (Elements))」，影響到了後代的歐幾里德（325 - 265 B.C.）。

他把這個問題看成，用尺規作圖在 a 和 2a 兩長度之間插入兩個長度 x, y，使這四個數 a, x, y, 2a 成等比數列，按照等比數列的定義，可以知道

          

這時把 a 視為單位長1的話，x就會是。

也可從等比得知a : x = x : y = y : 2a

但是古希臘人並沒有認識到數字的比可以轉化成分數，因此他們不把6:4同除以2得到3:2，寫出6:4 = 3:2，而是覺得這兩個比「類似」，因此用的詞是「類比」而不是「等於」。也因此不像我們透過分數和等號可以直接得出三個等式

只要把這三個等式聯立（其實只需要兩個，因為兩個方程式就可以求兩個未知數）就可以求出x和y的數值。

又透過現代的解析幾何可以很快知道，前兩個方程式是拋物線，而最後一個是雙曲線。因此在座標上畫出圖形，找出三條曲線共同交會的點座標就是答案。

古代雖然沒有現在這些想法和計算方式，但我想那些具有敏銳觀察思考能力的數學家，應該不久後就發現這些數字互相的關係滿足某些方程式，而且剛好對應到某些曲線的性質，圓錐曲線的研究就從此展開。

這裡稍微講一下上面提到的倍立方體故事不合理之處。在那故事裡，居民們在429年帶著問題去找柏拉圖，但如果一對照希波克拉提斯與柏拉圖（427 - 347 B.C.）的生卒年，馬上可以知道一定有問題，因為429年時柏拉圖才2歲！姑且不論這個問題，因為這有可能是中文維基寫錯，英文維基沒有提到時間。但如果阿波羅神殿的問題是最初的倍立方體問題，那年代比柏拉圖還早的希波克拉提斯要如何對此提出解決辦法？

對此有幾種可能：首先，阿波羅神殿可能不是最早的來由。第二，居民們找的可能不是柏拉圖。第三，如果生卒年正確的話，希波克拉提斯和柏拉圖確實可能有段時間上的交會（427 - 410 B.C.），再者有可能兩人當時正身處同地在研究數學，所以柏拉圖或許會邀請希波克拉提斯一起解決問題。第四，上面等比數列的解決辦法可能不是希波克拉提斯所想的。第五，生卒年錯誤。以上都只是猜想而已

見文3裡，在希波克拉提斯提出他的見解後，柏拉圖的一位學生Μέναιχμος(Menaihemos

(Menaechmus), 梅內赫莫斯 380 - 320 B.C.)，被視為圓錐曲線的發現者，他發現可以用平面在圓錐上切出三種曲線。

他以垂直母線（圓錐的斜邊）的平面切過三種圓錐

（藍直線是圓錐中心線，黑線是母線，θ是兩線交角，黑色平面垂直母線，紅色是截面圖形）

由上圖看到當圓錐θ小於45°時，平面截出來是橢圓。

當θ大於45°，就截出雙曲線。

梅內赫莫斯由此把它們分別命名為，銳角圓錐曲線、直角圓錐曲線、鈍角圓錐曲線。

之後經過很多數學家的研究發展，到了阿波羅尼歐斯（Απολλώνιος ο Περγαίος, Apollonios(Apollonius) 262 - 190 B.C.）時，他將前人和自己的研究結果統整起來寫成了著名的「圓錐曲線論(Κωνικά, Konika(Conics))」，為圓錐曲線的發展立下一個大里程碑，在純幾何上的性質幾近研究完成。一直到現代，發現了行星軌道是圓錐曲線；也隨著解析幾何、線性代數、投影幾何的出現，讓圓錐曲線又被賦予嶄新的表達式。

阿波羅尼歐斯在圓錐曲線論裡，分別證明出橢圓、拋物線、雙曲線（之後以三曲線為統稱）所擁有的性質，並重新將它們命名。而他所發現的性質，可以讓我們用現代的方程式表達出來。（若是不喜歡看證明的話就稍微看過便可，畢竟看完一大段文字證明不是此篇的重點，不過得要了解一些小細節就是了。）

（△ABC代表圓錐，是截平面方向，是兩平面交線垂直和，是橢圓的長軸，平行畫出，在橢圓長軸上取任意一點M，平行畫出，L在橢圓邊上，FLG是平行底面的平面過點M和L截出的圓形。）

首先，是圓形FLG的半徑，於是△FLG為直角三角形，有子母性質

再因為△DFM相似於△ABH，因此寫出

△MGE也相似於△ACH，寫出

以此代入上面的和。

接下來借用見文4的畫法，

為了之後想把圖形用方程式描述，讓＝x, ＝y, =a, =(a-x)

阿波羅尼歐斯說，若在垂直方向畫出長度為p的線段DN，正方形LM的面積會等於黃色長方形面積x(p-o)，也就是會缺少一個灰色長方形面積xo，此長方形相似於長方形DESN。

所以我們得要算出 o 和 p 各是多少

先利用相似算出 o，同時算出缺少的面積 xo

於是我們可以寫出描述的方程式

剩下唯一的問題就是，p到底是多少？為此把最上面代入和的結果拿來比對

把後面的那個數字設為 H，展開化簡得

上下比對係數便可得

這個數字被阿波羅尼歐斯稱作參量，也叫做όρθια(orthia,(upright 直立))，意指長方形中直立的邊，拉丁文譯成latus rectum，這現在也變成一個英文名詞，即正焦弦。這樣好像阿波羅尼歐斯已經知道三曲線的焦點了。的確，在橢圓和雙曲線是如此，但他不知為何似乎不知道拋物線有焦點；而他也沒有把焦點用一個專有的詞來稱呼，因為他只認為這是把參量線段長放進圖形內時，剛好和軸交會的點。首先用焦點(focus)來稱呼的是克卜勒。

雙曲線的證明也幾乎一樣

△ABC和上面延伸的直線是圓錐，綠色是截出的雙曲線，是截平面方向，平行。在雙曲線上找一點L，垂直畫出。

同樣有

而再因為有△DFM相似於△ABH，△MGE相似於△ACH，因此

同樣讓＝x, ＝y, =a, 但是 =(a+x)，

在雙曲線的情況，若畫出長度為p的線段MN，正方形ML的面積會超過px，多出來的面積圖形xo相似於長方形EMTS，比照橢圓的步驟寫出方程式

再進行比對係數

同樣可得出

最後的拋物線也容易

有△DFM相似於△ABC

而＝，又平行線截等比例線段，所以

在拋物線的情況，正方形ML的面積剛好等於px，因此可以很容易寫出方程式

而比對係數之後得

這便是在圓錐曲線論裡對三曲線性質以及正焦弦的證明，也根據三曲線各自的面積相差的情況，為三曲線重新命名：

橢圓 Ελλειψη (Elleipsi(Ellipse), 缺少)；拋物線 Παραβολη (paravoli(parabola), 相合)；雙曲線

Υπερβολη (Ypervoli(Hyperbola), 超量)。

不過座標方程式是我們後人寫出的。利用這些正焦弦的性質，我們便可以將三曲線方程式寫成一個比較統一的形式：

（依照課本上的定義，這裡的a應該要寫成2a才是）

在課本上並沒有多講什麼、題目裡也只是用來算出 a 和 b 是多少的正焦弦，其實具有特殊的意義可以讓三曲線表現出相似的性質。也就是說，三曲線本身就是互相連貫的，並非如課本的方程式一樣互相獨立。但是不只有正焦弦可以做到這點，之後還會講到兩種更好的形式也同樣可以用巧妙的方式統一方程式。

或許看到這裡會覺得我有些前後矛盾，為何一開始說不接受方程式，但是在這裡又一直強調用方程式來表達？其實我不接受的是課本上那種無法表現出三曲線連貫性的方程式。（這裡所謂「連貫性」的真正意義要到之後才會詳細討論。）

用方程式表現出圓錐曲線的幾何性質，並同時表現出連貫性，這才是最佳的圓錐曲線方程式。

不過上面的方程式有較不佳的一點在於，它中間有個 ± 的符號，這表示我們得要人為選擇要用正或負，而若是利用把p或a的範圍擴大到負數，又得捨去它們的幾何意義（長度無負數）。

19世紀時，一位叫做Dandelin(Germinal Pierre Dandelin)的教授給出了一個簡單又奇妙的方法來連結圓錐和截出來的三曲線焦點及準線。

有一平面截過一圓錐產生截圖形，這時在圓錐上下各放進一顆球，讓球的大小正好和圓錐與平面同時相切，此時球體與平面的切點就是截圖形的焦點。而這幾顆球被叫做Dandelin球。

灰色是圓錐，藍色是截出的橢圓，紅色是同時與圓錐和平面相切的球，點F和G是切點，P是橢圓上任意點。兩個球和圓錐相切形成綠色的圓，而是指向頂點的線段。

我們已經知道和長度不變，而因為S和F、G和T各自是同一個球的切點，所以可得

由此可以知道F和G確實是橢圓焦點，而也可以反過來證明平面截出的是橢圓。

FG為雙曲線焦點，也是截平面與紅球的切點。紫色線段PST通過頂點畫到圓錐另一面。

在雙曲線上，減掉為定值，又FS、GT各為同一球的切點，所以

從圖中可確定長度確實不變。

綠色平面是點SKT、球與圓錐的切圓所在的平面，藍色是截拋物線所在的平面，T是位在兩平面交線上的點，垂直交線，垂直綠色平面，平行於圓錐的中心線（沒畫出來）。

首先，。再來假設，因為截面平行母線，所以這個θ同時也是圓錐中心線和母線的夾角，又為通過頂點的其中一條母線，所以。總結以上，便可得

而我們知道，拋物線上的點到焦點與準線等距離，所以說，兩平面交線事實上就是拋物線的準線。

那麼是否在橢圓和雙曲線上也是如此？答案是肯定的，但是關於此二曲線的準線留到之後再仔細說明。

我的課本在橢圓這節的其中一頁放了小小的一段關於一個比例的敘述，就是橢圓中的c/a，這個比例叫離心率，符號是e。（英文叫做Eccentricity，在其他學科領域也譯作偏心率或偏心距，

由Ec - centric加上名詞結尾 -ity組成。ec- 字首來自希臘文，有out的意思，centric為「在中心的」，類似central，因此eccentric可以作「偏心」之意，像是機械上有種偏心輪。）

從定義可看到，此比例越大，代表c大到快接近a，整個橢圓看來就會很扁。如果越小，代表c相對a而言小，意味著兩個焦點越來越接近，直到e = 0，兩個焦點合為一點，這時就變成了一個以a為半徑的圓形。

課本就只講到這裡，就和正焦弦一樣，在題目中出現好像只是負責提示你 a 和 b 是多少，更何況離心率根本不會出現在正式題目裡。它好像只是拿來告訴你橢圓有多扁，又只是一個數學家寫出來卻不知何用的數字。但事實上它們都有著更重大的責任，它們都可以負責串起三曲線的方程式。

把c/a用在雙曲線上，因為c大於a，所以e > 1。全部一起統整進來的話，就有了一個類似統一定義的數字。e=0 是圓形，e<1 是橢圓，e>1 是雙曲線。

剛好也就是圓錐截平面從水平慢慢變斜時，截出來的圖形變化。

但是還少了一個，e=1 的圖形還不確定，而截面圖形也只剩下拋物線還沒出現，那就先順勢把兩者放在一起，定拋物線e=1。只是這個定義非常奇怪，拋物線半個 a 或 c 都沒有定，怎麼可以說c/a=1也就是c=a，但是我們也都知道，橢圓或雙曲線在 a=c 時都絕不會變成拋物線。

這個 1 還有其他的背後意義，而最重要的意義，就是在拋物線中，一個比例為1的地方：點到焦點與到準線的距離比。

在課程裡，準線這東西好像只有拋物線有，橢圓和雙曲線則沒有也不需要，因為寫方程式不需要定出準線，畫圖時也不用。但事實上它們不僅都有，還都各有兩條。

如果說有一個題目是：給一個焦點和一條直線，若點到焦點距離比上到直線距離為0.5或1.5，請各寫出方程式和畫出圖形。這種題目應該沒有出現在高二下的任何考卷中，除非可能是名校的資優資優班。因為乍看之下答案應該會是拋物線的題目，若是一點一點的仔細畫出圖形，就會驚訝的發現，圖形竟然是橢圓和雙曲線，而老師根本沒有說過。

e代表的另一個意義就是這個，它不單單只是用來告訴你a和c的比例，其實它是用焦點準線距離比來統一三曲線的定義和方程式。

但是要怎麼知道 c/a 就等於焦點準線距離比？更實際的問題是，準線到底在哪裡？

先用橢圓最簡單的情況來想。一個中心在原點、長軸在x軸的橢圓，因為準線會垂直長軸，也就是x軸，所以設準線位置為x。而因為X軸上的點到焦點與準線距離比會等於c/a，因此

也就是說，橢圓的準線在距離短軸a/e的地方，雖然只算x軸上的點，但是這對橢圓的所有點都成立，也因為橢圓左右對稱，所以另一邊也有一條準線。而雙曲線也一樣，只是把上圖最左的分數改成 c-a/a-x ，準線都在a/e的地方，就在兩分支的中間(a/e<a)。

我們已經用a/e定出準線位置，其中特別的是，上面說圓形的e=0，對c/a來說沒問題，但是把它代入a/e的時候，就會發現分母是0。在嚴格說法上，會說分母0是無意義，因為它同時趨近正無限大和負無限大，算是無意義。但是因為離心率不會有負數，所以可以直接說它趨近正無限大。也就是說，橢圓在慢慢變成圓形時，準線就會一直往更遠處移動，直到移動到無限遠處。

佔據圓錐曲線課程的大部分並非是阿波羅尼歐斯寫下的東西，準線也是其中一個。帕波斯

（Πάππος ο Αλεξανδρεύς, Pappos(Pappus)), 290 - 350 A.D）是另一個著名的數學家，像其他著名的數學家一樣，也寫了重要的數學總集數學彙編(Συναγωγή, synagogi(Collection))。阿波羅尼歐斯身處希臘化時代，與歐幾里德和阿基米德先後為此時重要的數學人物，在他死後數年，接續亞歷山大帝國的三大馬其頓王國就結束於羅馬征服。帕波斯則是在羅馬帝國統治下，接續古希臘數學的著名學者之一，另外還有托勒密和丟番圖；去世數十年後羅馬帝國東西分裂。此時的古希臘數學已經接近消亡，為了使前人的研究能延續，帕波斯便做了匯集的工作，總共八卷，後有亡佚。

在此書中首次提到三曲線的準線，另外還有拋物線的焦點。

阿波羅尼歐斯已經知道橢圓和雙曲線有焦點，但並不知道準線。他也證明過橢圓和雙曲線的光學性質，所謂光學性質指的是三曲線若有從焦點射出的光線，經曲線反射後會有特殊的結果。其中阿波羅尼歐斯只沒有給出拋物線的證明。在教育部高中課綱裡面則明確寫出二次曲線課程不講述光學性質。不過我的老師有稍微帶過。

直線的反射很容易看出入射和反射角，但是曲線則不容易，這關係到反射點的切線，而切線要用數學講清楚就要用到微分概念，不過我們可以簡單一點來理解。一般講切線就是只與曲線交於一點叫做切線，不過這樣講沒什麼感覺。切線就是曲線在該點的角度變化，如果有一台迷你車沿著曲線跑，則切線方向就是車子在那一點的車頭方向。也可以把曲線看成是無限多條不同角度的小直線接在一起，每一個點都是一個很短的直線，而切線就是把這條小直線延長到我們能看清楚。所以光線只以它碰到的點的角度作為反射依據，而切線讓我們可以判斷光線在該點是以什麼角度來反射；如果光線有感覺，它可能覺得它碰到的是切線，而不是一條曲線（如果光線也會以偏概全的話）

反射就是入射角等於反射角，因此在數學來看，三曲線的光學性質就是：

光線從橢圓其中一焦點射出，經弧形邊反射後會射到另一焦點。

圖中兩個黑點是焦點；下面是另外兩個橢圓上的點的反射情形。在數學上便是要證明切線與入射線夾角等於反射線。橢圓和雙曲線已經在圓錐曲線論裡證明過，不過並沒有用光學角度來看。所以說，橢圓上的一點連到兩焦點的線段（兩條焦半徑），不僅是長度和不變，還互相是反射線。

中間較粗的是對稱軸。

雙曲線的情況特別一點，圖中紅色是入射和反射線，綠色是延長線，黑色較粗的是切線。

 

其中拋物線的性質很實用，它讓我們的光線可以射向遠方，也可以把遠處的光線聚集，若是承載訊息的電磁波（可見光也是電磁波），便可以互相的傳遞訊息，這就是雷達。雷達的形狀就是把拋物線繞著對稱軸轉一圈，掃出的曲面即是拋物面。

光學性質除了用在光學之外，其實它隱藏了另一個數學的秘密，是可以解釋拋物線為何e=1的另一條路。

我們當然都知道拋物線上每一點到焦點和準線距離相同，這已經聽過好幾次了。再來，模仿雙曲線的形式將拋物線和橢圓的反射線往後延長

一般我們想要找出拋物線的準線時，會在拋物線上取幾點，量出與焦點距離後，從各點往平行對稱軸方向向外取相同距離，最後連接起來便是準線。關鍵就在於，這些向外的平行線，剛好就是光學性質所講的反射線，所以我們做的動作其實是在反射線上取距離。繼續聯想，我們當然也畫得出橢圓和雙曲線的反射線，那如果我們也在這些反射線上取與焦點相同的距離，連起來會是什麼圖形？是否會和拋物線一樣是直線？

（以五個點作代表）

結果並非是直線，而是一個圓形，雖然這和原本以為是直線的結果差很多，不過這結果也還算漂亮。因為只要再做一個動作，我們就可以讓橢圓和雙曲線變得和拋物線一樣，也就是一個可以讓非平行線變成平行線，圓弧變為直線的動作。

就是把另一個焦點無限制的往遠方拉遠。

雖然上面圖片以一個焦點來做，但其實兩個焦點是對稱的，因此拉哪一個焦點都可以。把另一焦點拉遠的同時，反射線也逐漸互相平行，畫出來的圓形弧邊也逐漸變平，

可以預見，當焦點到達無限遠處時，平行線就出現，而圓形也變成直線了。

在這中間，橢圓和雙曲線的離心率都會逐漸的、無限趨近於1，讓我們用實際數字看一下。