自己的高中數學整理 -3.1- 圓錐曲線的方程式及投影、錐面截圖形、雙曲線的漸近線

在直角座標裡十分麻煩的斜向情況，在極座標裡卻只用了一個數字就可解決。不同座標有各自的適用之處，可以依照使用上的方便、需要性來選擇適當的座標。

再來，我們知道如何將極座標轉換成直角座標，但若cos裡有個會很難處理，因此先捨去它。

而其實 r 就等於，所以把它代入

但如果直接把它輸入數學繪圖程式，在雙曲線時會只剩下一支，為此得要把 ex 移項到右邊，再把兩邊平方得

這便是可以設定正焦弦長和離心率的直角座標方程式。但上面把捨棄就意味著，這方程式無法畫出斜向圖形。

我們對橢圓的認識大概和圓形差不多久，只要想到圓形，就可以想到橢圓這個看起來像是把圓形壓扁或拉長的圖形，事實上也就是如此。在高二下橢圓的章節，也告訴我們在座標軸上，把x或y座標伸縮個幾倍就會變成橢圓。橢圓的「橢」字在中文上的意思就是「拉長」，這應該是近代西方數學傳入中國時翻譯的詞。到了現代，大家幾乎不知道或沒想過「橢」字是什麼意思，只知道「橢圓」這個詞。生活中會在何處看到橢圓？在陽光斜照的上午或下午，時不時都會看到斜射的陽光照在物體上形成的影子，比物體實際的長度還要長很多，這時如果拿個盤子、碗、圓鏡或是某個圓盤狀的物體對著陽光，形成的影子就像是把圓形拉長，這就是橢圓。但為什麼圓形可以投影成橢圓？

首先我們先討論投影為何，就像在向量時討論兩軸分量或正射影，這是把一條線或一個面放在平行光下，產生影子的數學描述 (如果想討論非平行光的話也可以，不過等到後面討論)。

先看三個主要的例子，此三例是投影的基本，所有計算依據就是這樣而已。

這是兩面角為的兩個相交平面，光線由上往下照射。之後為了方便敘述，我們把距離光源較近的位置叫上游，較遠的就叫下游，就像河流的上游應該就是離水源較近的地方（雖然平常並不是這樣想的）。再把位於上游的E平面叫做物面，下游的F叫影面。而兩個面的交會形成的直線就叫它交線。

現在在E上有個平行於交線的線段，依照對光影的認識和圖中垂直F的輔助線，可以知道線段長度並不會改變。

之後把這張圖叫情況1。這是把一個物面上半徑R的圓投影在F上的情況，E與F的兩面角為，在F平面形成半長軸a半短軸b的橢圓。由通過圓心且垂直F的那條輔助線可知，圓心投射下去就是橢圓中心點。再由其他輔助線以及上面的經驗知，平行交線方向的半徑投射下去長度不變形成了橢圓的a，而垂直方向則縮短成原來的倍，形成橢圓的b。

剛剛的句子用了「縮短」這個動詞，其實就是表明我們可以把圓和橢圓互相投影看成是座標伸縮，這只是觀點不同而已。「投影」是發生在兩個平面中物件的關係，而「伸縮」則是同一平面同一物件的變化。就像很多繪圖修圖程式(例如小畫家)，都會有長寬伸縮的功能，通常是在圖片周圍定出8個點，四個邊和四個角各一個。因此投影這件事不一定要真的拿光和紙，或是一定要安裝3D繪圖程式才能完成，只要有個像小畫家的簡單程式，而且有個漂亮的圖案就可以了。

不過還是得說清楚，這只有在圓和橢圓之間變化的情況可行。投影還可以產生像是雙曲線等圖形，但那就無法簡單用圖片伸縮做到。

總之我們可以把上圖垂直方向的長度變化看做是在同一平面上縮小為倍。也因此可以確定投影後的圖形是橢圓，因為在數學課上已經看過解析幾何座標伸縮可以得出橢圓方程式。

以下的平面圖看來更清楚，經過這個投影動作，原本的圓形看來變扁了，而如果把上圖互相垂直的兩個直徑端點連起來，畫出內接正方形

這是c長度所對應的角度，聽說這個角度叫做角離心率（Angular eccentricity），但是因為相關資料很少，不知道此詞是不是正確的，所以我也自己取了名字。因為是焦點從中心張開的角度，因此我把它叫做橢圓的焦張角。原本是兩個平面的交角，現在被巧合的烙印在投影出來的橢圓上，變成隱藏在圖形中的數字。這個結果是很合理的，如果讓當初讓圓擺得越平，也就是兩面角越小，橢圓的c就會越來越小，變得越來越圓，最後當圓形完全放平，等於0，投影後的橢圓就變成了圓，也就是投影後沒有變形；而如果讓越來越大，c的長度就會越來越接近半長軸R，橢圓變得越來越扁，看起來越來越接近線段，最後當等於90度，橢圓就變成了線段（但如果是定義平面沒有厚度的話，則90度時就投影不出東西，只能說當無限接近90度時，橢圓無限接近變成線段。不過一般我們的紙張是有厚度的，所以一個紙上的圓還是可以投影出一條線段）。

再繼續看下面的情況，叫這張圖情況2

這是把一個在物面E上長軸2a短軸2b的橢圓投影在影面F，在F上形成一個圓形。想要像這樣剛好把橢圓投影成圓，兩面角就要等於焦張角，和上個情況一樣。畫出橢圓的abc三角形後，若定出焦張角，則b可以改寫成。再經過兩面角的投影，a被縮短為，正好就會和b相同，於是橢圓投射成了圓形。

若再把這兩個情況的上下游互換（平行光照射方向相反），我們就可得出兩種把圓投影成橢圓，兩種橢圓投影成圓的方法（情況）。

把位在上游物面的圓投影成橢圓的方法有兩種。第一種是光線垂直影面，也就是情況1。

第二種讓光線垂直物面，也就是情況2上下游相反，

一開始所說的的太陽光就是這種情況，形成的橢圓就像把圓形拉長（事實上也是）。

而把上游物面的橢圓投影成圓也有兩種。若想要圓直徑等於長軸，則光線要垂直物面，也就是情況1上下游相反。若想圓直徑等於短軸，則光線垂直影面，也就是情況2。

以上的四個情況其實都是經過設計的，都是長軸或是短軸垂直交線，因此可以很完美的在圓形和橢圓之間變換。但情況顯然可以更多變，假設從一開始情況2的橢圓長短軸就與交線有一個夾角，此時投影結果會如何？

圖片上雖然看不出來，但其實結果會變得很複雜，不僅焦點無法上下對應，連物面長短軸投影下去都不會是影面橢圓的長短軸，只剩橢圓中心有對應到。

從正上方看，如果把物面的長短軸(實線)投影到影面，會與影面橢圓的長短軸(虛線)夾某個角度，而物面長短軸投影後的角度也不再是直角。我們雖然可以用上面的方法算出物面長短軸投影後的長度，以及用反三角函數算出它們的夾角；但是卻無從知道與影面長短軸所夾的角度。雖然數學肯定有辦法可以計算，只是我只能承認我目前想不出來。

課本在二次曲線這一章的一開始，定義了何謂圓錐，也就是一條母線以固定角度繞著中心線旋轉掃出的曲面。若有一個垂直中心線的平面截過此圓錐面，會在此平面上形成一個圓形，且圓錐頂點垂直投影到平面上會在此圓的圓心。這是一個很完美的圓錐。

在這裡先分清楚「錐體(錐)」和「錐面」的差別，雖然在課本上這兩者是一樣的。

「錐面」是數學上理想的，兩端無限延伸的直線所形成的曲面，它是單獨存在於空間中的面。若在「錐面」上有一平面截過，形成一個截面，這個截面把錐面切斷，剩下頂點到截面這段立體，包含截出的底面圖形，這樣叫做「錐體」。「錐體」是有限的，就像生活中看到的圓錐一樣，有個底面，也不可能兩端無限長。

要分出錐體和錐面是因為，錐面只有兩種（廣義來說是同一種），但錐體會因為截平面角度不同而形成看起來不同的錐體。

課本上定義的錐面叫「圓錐面」，另一種我叫它「橢圓錐面」。而因為圓形算橢圓的特例(a=b, c=0)，因此可以說所有錐面都是「橢圓錐面」；只不過這樣歸類不怎麼實用。會叫做「橢圓錐面」是因為，相對於圓錐面垂直中心線的截面是圓形，橢圓錐面會是橢圓形。若是在橢圓錐面上截出圓形，就不會垂直中心線。不過要這樣講的話，我們就得先確定橢圓錐面的中心線位置。圓錐面的中心線可以看成是頂點到圓形底面的圓心連線，換句話說，如果拿一個平面以不同角度截過圓錐面，當某角度的截面圖形是圓形時，以一直線連接此圓圓心和頂點，此線便是中心線，而此截面也正好垂直中心線。類似方法也可以用在橢圓錐面，只是這時截面圖形不為圓形，而是無限多種橢圓的其中一種，因此說法要改成：若有一個截面橢圓的中心與頂點連線與截平面垂直，則此連線就會是中心線。以下是圖片：

課本上錐面的形成法只能生成圓錐面，但還有一個方法可以形成各種橢圓錐面。

在空間中給出一個橢圓，和一個不共平面的點，點與橢圓的邊可以連出無限多條直線，這些直線便形成橢圓錐面；或是可以說成，從點往橢圓的邊連出一條直線，再讓這條直線繞著橢圓邊掃一圈，掃出來的曲面就是橢圓錐面。曲面形成後，原本的橢圓就不一定是垂直中心線的橢圓了。依照上一段說的，應該會有個角度可以讓截平面在此橢圓錐面上截出圓形才對，那麼要怎麼看哪個角度會出現圓形？要截出圓形有個條件，就是平面的法向量必須要垂直「標準橢圓的長軸 a 」，這和先前講的投影情況1有些相似，因為這樣才能讓  b  伸長到等於  a。我們上面只討論到平行光的投影，但實際上更常遇到光線呈現圓錐形的情形，這些投影其實就可以看成平面截「光線柱」或「光線錐」的情形，也就是投影和截面圖形其實是同一回事。平行光等於柱體，而錐形光就是錐體，只是柱體和錐體在同一個角度下截出來的圖形會有差異，出現圓形的角度也不同，柱體可以用上面的平行投影找出，但錐體就不好找，因為錐體的截面橢圓中心並不在中心線上，而且錐體還有拋物線雙曲線的情況，因此不像柱體投影只需要簡單的三角函數計算。

其實還有個問題，上面只講到截面的「角度」，並沒有提及截面的「位置」。那到底當截平面維持某角度平行上下移動時，圖形是否會改變？

在最基本的圓錐上，我們知道平面若垂直中心線會截出正圓形，不管平面如何上下移動，只要是垂直中心線就會是圓形，除非剛好移到頂點。而如果平面斜了一點，截出來會一個是橢圓。那麼當這個平面以同一個角度上下移動的時候，橢圓的形狀看起來會不會跟著改變，可能越來越扁或越來越圓？還是會像圓形的情況一樣，上下移動而不改變？如果形狀會變化的話，代表圓形的情況只是特例，在以所有角度切過的平面裡，只有垂直中心線的情況不會改變形狀。不過事實是，圖形真的不會改變。圓形並非特例，只是平常很少注意其他圖形。要承認的是，這是電腦告訴我的，是電腦的數字告訴我圖形不會改變。因此我們可以總結成以下這類似小定律的句子：若有一平面截過一錐面形成某一圖形，則在非退化情況下，另一平行此平面的截平面也會截出相同形狀之圖形。

不過雖然有這句話，但是還有一個缺漏就是，如何定義「形狀」是否相同？

這時候就要用到先前講過的離心率 e。e相同的兩個橢圓或兩個雙曲線，彼此都是等比例放大或縮小的關係，形狀也就是一樣的。

 

這是因為錐面具有類似碎形的自相似性(Self-similarity)性質。若是把視野放在頂點附近，朝頂點無限放大或縮小，看起來都仍然和原來一樣，這是因為數學的直線本身是無限細小，也就是沒有寬度，點也是沒有大小的，所以錐體乃無限尖的。這和物理上，錐體最尖不過一個原子，甚至一個質子，並不會有無限尖的情形相當不同。如果今天有一隻螞蟻或一個病毒有一個超微小照相機，並且有一個數學上理想的錐體存在，那麼這隻螞蟻或病毒拍到的錐體，會和我們看到的錐體是一樣的（無法分辨大小）。但是這樣就產生一個很矛盾的問題。若是一個截平面本身已經截出一個圖形，我們知道它不管如何平行移動，圖案都和原來一樣，只是越來越大或越來越小，只要不要碰到頂點。若讓它越來越往頂點靠近，正常我們會看到圖形越來越小，直到平面通過頂點，圖形就退化了，但是如果在平面越來越靠近頂點的同時，將我們視野也越來越靠近，這時不管圖形如何接近退化，我們都可以把視野做適當調整讓圖形一樣正常，所以圖形將永遠不可能在我們眼前退化！

這個問題其實和其他極限過程是一樣的，在國小推導圓面積時，也用到這種無限的概念。說來有趣，在古希臘被認為是數學家「禁忌」的無限概念，在我們這個時代卻在國小就已經納入課程範圍。當初的阿基米德利用這種無限概念得出圓面積公式，卻因為當時其他數學家不接受這種推導證明，所以只得利用「兩步反證法」，證明圓面積不可能大於或小於，證明才被接受，若是他看到現在的情況，我想會覺得欣慰又感嘆吧。無限的概念從阿基米德開始，經過微積分，最後直到ε-δ定理出現，才真正把邏輯上的矛盾解決，中間經過了兩千年，但是卻在國小時我們就彷彿完全接受了這種概念，或許是國小時太相信課本，不太常自己思考提出疑問，況且國小老師不一定全部都有接受這方面的數學訓練，因此可能出現學生被迫接受的情況。「無限」的概念教育算是現代人的福氣，但也是可再議論的地方，畢竟無限的概念雖然可用，但是常被濫用，我也不否認我在文章中可能有濫用之處。

從電腦歸納得出上面的小定律之後，將會改變我們從國中以來對一種曲線的認知。我們早就知道，截平面的角度若平行圓錐面母線的話，會截出拋物線，，但是此時若平行的上下移動的話，只有兩種可能：一種是截出不同的拋物線，也就是開口的大小不同，形狀不一樣的拋物線；另一種就是出現形狀都相同，只是大小倍率不同的拋物線。但是根據前面的小定律，角度相同只可能截出相同形狀的圖形，也就是第一種猜測很可能錯誤。但是有沒有可能是那小定律錯了，那句話並非是哪個有名的定理，只是我從電腦實驗上給出的統整敘述？畢竟，國中和高中學了那麼久的拋物線，從來沒有人說各種係數不一樣的拋物線其實形狀全部都一樣！

從另一個方向來看，離心率 0 是圓形，小於 1 是橢圓，等於 1 是拋物線，大於 1 是雙曲線。橢圓和雙曲線的離心率有個範圍，形狀可以各異，但是當離心率相同時，互相都是等比例縮放的情形。而我們也都同意，圓形互相也都是一樣的，不可能找出不同形狀的圓形。如此想到最後，只剩下一個曲線還未定論，那就是拋物線，也就是除了圓形以外，另一種離心率是定值的二次曲線。這就產生和剛剛一樣的問題，如果說以上關於離心率的論述都沒問題的話，所有的拋物線離心率都相同，代表這些拋物線只可能有一樣的形狀。

從兩個不同的觀點來看，最後結果都顯示，就算是開口不一樣大、焦距不同的拋物線，極有可能根本就是同一個形狀。

先假設這個猜測正確，拋物線彼此都是等比例的，因此若把各種拋物線縮放到一樣大，每個點的位置、曲線往上彎曲的樣子，彼此都相同，全部重合。但如何確定它們應該縮放到什麼大小？從高中拋物線的方程式知道，hk不影響形狀，只影響整體的座標位置，所以重點在於c，c決定了開口大小以及正焦弦長4c，若焦距相同則開口大小相同。因此我們只要找到方法確定，如果把焦距都縮放到一樣大時，這些拋物線(方程式)會是一模一樣的。

那麼要如何確定？當然就是用「座標伸縮」。

因為不用考慮平移，這裡就選擇和來計算。因為，所以的焦距是，的焦距是，前者焦距是後者的3倍，意味著如果我們把後者的圖形(座標)放大3倍，看到的圖形(方程式)應該會和前者一模一樣。

設 x 放大後的座標單位長為 a ， y 放大後為 b，則 a=3x ,  b=3y，所以 , ，

代入原式

依此同理，將任意兩個拋物線按照焦距大小將圖形縮放，方程式都會變成一模一樣，由此就可以確定的說，拋物線全部都一樣，在課本上，在丟球時，所有原本以為不同的拋物線，其實每個都相同，只是因為我們觀點不同，視野太小，才會以為拋物線有很多種，這也是老師一直以來都不會說的。而現在也更加確定，不管是那個小定律還是我們對離心率的認識，都沒有出現例外狀況。