此篇是此整理的最尾篇，同樣以基本高中程度描述，並加入個人想法，可能會有無法接受者，請斟酌觀看。
下面要講高二下最後一個矩陣主題，轉移矩陣，正式叫馬可夫鏈。
馬可夫（Андре́й Андре́евич Ма́рков，Markov）從1906年開始發展馬可夫鏈。
轉移矩陣是一種每行加起來都是1、每個元素都是不大於1之非負數的方陣，
而拿來和它相乘，各元素加起來也是1的行向量，叫做機率向量或機率矩陣。
它們的一個重要課題，是穩定狀態的討論，
在高二下還沒有完整學到數列的極限等相關主題，所以並不討論如何判斷一個轉移矩陣是否會有穩定狀態，以及正確的穩定狀態求法，但是因為一些事實巧合，所以我們剛好不需要討論這些問題。
第一個事實是，只要一個轉移矩陣，裡面沒有一個元素是 0，那就一定會有穩定狀態，我們在課本和題目幾乎沒有遇過有元素是0的轉移矩陣，因為題目可能不喜歡設定機率是0，所以我們高二下遇到的所有轉移矩陣，都不需要討論是否會穩定。
而課本上計算穩定狀態的方法，用的是一個合理的等式，
設有一個轉移矩陣 M，一個穩定狀態機率向量 X ，則
然而這個算式表面上是在描述，一個機率向量經過M多次變換之後，變成了X，而之後X不管經過M多少次變換，依然不變，
但背後的意義，其實是在計算M矩陣特徵值為 1 時的特徵向量：
知道這點之後，就會有兩個問題，
轉移矩陣一定會有特徵值1嗎？
特徵值1的時候一定會是穩定狀態嗎？
首先是第一個問題，一個二階轉移矩陣M可以寫成
它的特徵多項式為
所以得出轉移矩陣一定會有特徵值1。
至於第二個問題我無法證明，總之可以確定，特徵值為1的時候，特徵向量的確接近於穩定狀態（可以當做等於）。
所以說，高二下在轉移矩陣穩定狀態的討論，因為三個連續的巧合，導致我們即便不知道其中的確切理論，但也可以得出正確的穩定狀態。
上一篇整理的補充裡有講到，四元數和複數都可以表示成矩陣。
四元數和矩陣的乘法都一樣有不可交換性，想當初兩個物件的發明者，
凱萊和漢彌爾頓應該是互相認識，凱萊比漢彌爾頓年輕10多歲，當初漢彌爾頓在1843年給世界帶來第一種交換相乘不相等的數字，之後1857年凱萊定義出不可交換的矩陣乘法，也就見怪不怪。
首先是複數，課本直到高二下都沒有提到複數平面，因此複數相乘可以類比平面上向量的旋轉和伸縮也就比較少人知道，說不定一些名校資優生已經在高一學複數時有學過，到高二下的矩陣又再複習一次，不過我不是資優生，所以我受的並不是這樣的教學。
複數平面又叫高斯平面，早在四元數出現前幾十年就已經開始發展研究，到四元數發明時應該很成熟了，矩陣運算完全確立之後，又可以再把複數賦予新的形式。
先來看複數的極式，在複數平面上，我們可以用現在平面向量的概念來描述一個複數
（用數對表示複數也是漢彌爾頓首先提出的）
而用高二上學的極座標概念，可以把一個複數轉成極座標形式，也就是用長度和角度表達，
設長度為 r，角度是 θ，則一個複數可表示為
這就是複數的極式，而利用極式，我們可以很容易看出兩個複數相乘的意義
設兩個複數，
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、
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相乘得
兩個複數相乘等於 長度相乘，角度相加，也就是同時旋轉和伸縮，若是交換相乘，因為實數的加和乘都有交換性，所以結果會一樣。
而旋轉和伸縮，也有對應的矩陣，所以自然會思考這兩者是否可以連結？
首先要想如何把 a+bi 化成矩陣形式，也就是要找出一個矩陣代表虛數 i，
虛數 i，基本性質就是平方是 -1，
而在複數平面上，一個複數乘上 i，結果就是逆時針旋轉90度，這即便不用極式也可理解，
所以我們就拿高二下教的，代表旋轉90度的矩陣來試試，如果平方是 -1，那就可以用了
I 單位矩陣在矩陣裡可以視為1，所以我們的確得到一個符合條件的矩陣，
所以現在可以把 a+bi 寫成矩陣了，而因為考慮封閉性，所以把 a 視為和單位矩陣相乘
這就是複數的矩陣形式，概念上也要把此矩陣視為複數向量，
順帶一提，原本複數的長度平方，剛好就是矩陣形式的行列式值，而複數的共軛就是矩陣形式轉置。
矩陣形式同樣有極形式，就和旋轉和伸縮矩陣同時相關，
二階旋轉伸縮矩陣和複數都是在平面上，性質如出一轍，殊途同歸，也可以說像是跨時代的巧合。
四元數的矩陣形式有兩種，一種是二階複數矩陣（裡面有虛數 i 的矩陣），一種是四階實數矩陣，兩種矩陣在高二下都不是很了解，所以這裡只點到為止。
然而一個誇張的事實是，我看幾個網頁就有幾種表示方式，雖然都有共通點，但是結果和性質差很多，幾經思考後，我決定在二階矩陣採用我比較接受的中文維基的形式，而四階矩陣則大膽用我自己的形式。
四元數要寫成矩陣形式，不外乎要像複數一樣，找出符合 i j k 運算性質的矩陣，
以下這三個矩陣就符合要求
平方等於-1，從左到右兩兩相乘都符合 i j k 相乘性質，
但是應該分別把哪一個視為 i j k 呢？所以就有三種可能
得出三種結果
再用一個簡單的事實來篩選，當一個四元數 a+bi+cj+dk，它的 c 和 d 等於0時，就會等價於一個複數a+bi，也就是說，把三個矩陣的cd都代入0，哪一個會等於
就算是四元數合理的二階矩陣形式。所以最後結果分別是
因此確定最後一個形式符合條件，也就是
就像複數一樣，四元數的絕對值平方等於矩陣形式行列式值
而四元數的共軛等於矩陣形式共軛轉置，也就是矩陣轉置後把元素取共軛，上面的複數矩陣形式因為矩陣裡沒有虛數，所以轉置後有沒有取共軛是一樣的
順帶一提，這裡的共軛轉置剛好等於餘因子矩陣的轉置，
所以四元數的倒數剛好也等於矩陣形式的反方陣
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q 是四元數的意思。
其實其他種二階表示方式（包含其他網站的）也符合這些性質，唯一的差別在於 c d 等於0時，
並不會等於複數矩陣形式，所以我選擇符合這個性質的形式，看起來比較合理且連貫，因為我也無從得知現在學界在用的矩陣形式究竟是哪一種。
再來是四階方陣形式，因為四階方陣應該可以視為四次元向量的線性變換，所以我們先來做一次四元數原本的乘法。
設兩個四元數相乘 a+bi+cj+dk ╳ u+xi+yj+zk，相乘得
四元數如果寫成某個四階方陣的話，應該可以和原本的四元數係數做矩陣乘法，而且結果要一樣
所以很容易可以看出左邊的四階矩陣應該要寫成
因此可以得出 i j k 代表的三個矩陣，如果用這三個矩陣把四元數的 i j k 代換掉就變成
經過計算就可以驗證 i j k 矩陣互相的性質都符合定義。
而如果是兩個四階矩陣形式相乘，結果也會一樣，只不過因為結果會是個又大又長的矩陣，因此這裡只寫第一行，其他處的係數都同理
同樣的，四元數的共軛等於四階矩陣形式的轉置，
如果像上面把矩陣裡的 c d 代入0的話，會是
而四階矩陣的行列式等於四元數絕對值的四次方
我目前無法驗證我用的表示方法究竟正不正確，想法有沒有錯誤，此處只想要表達複數和四元數都可以表示成矩陣，這種對高二生而言十分新奇的想法，我認為很有放在此整理的價值。
然後是我用我現有的C語言能力寫出來，計算矩陣乘法的程式（點圖片可以放大）
這是可以計算矩陣乘法的程式，一開始輸入兩個矩陣的列數行數，只要符合矩陣乘法的規定（左矩陣行數等於右矩陣列數）都可以運算，若是不符規定就會顯示「此兩矩陣不可以執行乘法」。
從老師那裡不時會聽到，矩陣在電腦上有很大的用途，但是依照我對C語言的了解程度，並沒有可以直接表示矩陣的物件，或是可以執行矩陣計算的運算子（運算符號），在程式碼上沒辦法直接簡單寫出 A * B = C ，然後就可以顯示乘出來的C矩陣。
所以如果沒有事先寫好代表矩陣的物件，和用來計算加減乘法的程式碼，是沒有辦法做矩陣計算的，於是我就想試著寫出乘法程式，因為加減法的作法很簡單，所以並沒有嘗試的必要。
理論上最大可以計算兩個100x100矩陣相乘的程式，但是我目前沒有真的測試過100階方陣，所以也不知道電腦能不能跑，因為其實計算四階方陣相乘已經很麻煩了，雖然電腦計算得了，但是要把兩個矩陣32個元素正確打進去就已經是一件苦差事了。
此程式裡用到了二維陣列和迴圈，還有鍵盤輸入，二維陣列就是我覺得可以用來表示矩陣的物件，兩者的概念類似，不過其實陣列也可以寫到三維四維，不過應該很少用到。
裡面可能有幾個函數或寫法是專業程式設計者會避免的，但是我還只是新手，又看不懂正確寫法，所以沒有改正。
此程式最核心，計算乘法的那幾行，其實有參考（應該說就是照抄了）網路上的範例，這其實是不應該的，不過我後來發現高二數學講義上寫的矩陣乘法居然和這一模一樣
所以這應該是數學界公認的算法。一開始我確實想要自己想出把矩陣乘法程式化的寫法，不過看了範例之後，我覺得我自己寫不出如此簡潔的計算程式碼，所以只好抄下來了，不過剩下的都是我自己寫的，但也要承認除了那幾行以外，剩下只是簡單的工作而已。
在我寫這篇整理的時候，這程式也省了我許多的事，不管是二階方陣或上面的四階方陣，都可以比較方便的得到結果，不過只限於元素是數字的時候，而我這篇整理中，未知數還是佔大部分。
此篇整理被我分成了三份，和上一篇整理相比雖然長了許多，但是卻更少提到各個段落的歷史，看起來前後也不怎麼連貫。
我發現矩陣的發展實在太廣，從1957年前後到現在各種領域的應用，還牽涉到各種高級的理論，文章越寫越覺得自己不自量力，看不懂網路上那些計算概念，還如何寫成整理，所以各個段落都停頓得突然，也缺少很多東西，這些文章開頭有先做過說明，
高二下的矩陣主題範圍非常狹小，但是一旦跨過了課本上的主題，各種理論和計算又太廣太難，所以我想用簡單的語言把一些有難度但是重要的概念先做基礎說明，上一篇向量也是一樣，只是矩陣部分的教學沒有違反歷史，因此也不用糾正，只是課本少講了很多東西。
（如果時間允許的話，下一篇是圓錐曲線的整理）
創作內容
自己的高中數學整理 -2.2- 馬可夫矩陣、複數和四元數、矩陣乘法C程式碼
、
q 是四元數的意思。
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