這篇接續前面所講的矩陣乘法，同樣重申，以下文章以普通高中程度寫成，資優高中生或大學生可能無法接受。
我想再講一個我在做矩陣乘法時的訣竅，連同前面講到的提出常數那個方法，這兩個是幫助我在矩陣乘法這裡方便計算的大功臣。不過，用一句我朋友講的話：「其實只要心算能力好，這方法根本用不到！」，我也同意，不過我是一個連乘除都常常做錯的人，更別提心算能力了。
我們都知道，做矩陣乘法，在算答案的第一列第一行的元素（最左上角）時，可以想成是拿左邊矩陣的最上列（第一列）去和右邊矩陣的最左行（第一行）做內積（所以叫他們行列向量），也可以想成是拿右邊矩陣的第一行去和左邊矩陣的第一列做內積，
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乍看之下是一樣的，不過在我的方法裡，這兩個想法的寫法是不同的。
其實這是當初去一家補習班旁聽時，老師提到的概念，不過是我自己把它圖像化、算式化、一般化，否則要我心算內積實在是太難了，更何況得要內積4次到9次。
把這個概念做推廣，實際上就是，
答案的第一列，是由左邊矩陣的第一列對右邊矩陣做橫向相乘，然後豎向加起來；或是右邊矩陣的第一行，對左邊矩陣做豎向相乘之後橫向加起來變成答案的第一行，圖像化之後就很明白：
首先是拿左邊向右邊相乘
把 a b 豎起來往右邊「刷」過去，
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變成
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最後上下直的加起來，就變成 o p 了，
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q r 也是一樣的方法
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再來是拿右邊乘左邊
把 α γ 橫過來往下「刷」，
最後橫的加起來
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，
p r 同理
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我個人比較常用第二種表示法，也就是拿右邊乘左邊，對比前面在算複合函數時的過程，
看起來感覺就很像吧。
其實主要原因是，橫的寫，計算紙的版面感覺比較整齊。
再來要詳細來講餘因子這東西，
不過在正式進到主題之前，我想先提一個比較簡單的概念，就是轉置，
一個三階方陣
轉置之後就會變成
也就是像對主對角線
鏡射一樣，用一般的元素下標寫法就是
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，
T 就是轉置的意思。
看過我前面內容就會知道，這是我第一次在文章裡出現下標符號，因為我個人很不喜歡下標符號，雖然它可以有效的簡化表達，但是不利於圖像化理解（雖然我承認用字母也不是太好的方法....），
用我的一句話表達就是：「這樣感覺就像用數學規則在玩文字遊戲」，
數學學到後來就像在玩名叫數學的文字遊戲，一大堆的未知數和函數名字(sin log....)，
而因為我自己連矩陣的「行」和「列」是直的還是橫的都要想一下，更何況看到
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，
我希望我的文章不是讓人專注於研究下標寫什麼數字，而是看到那個未知數就有一個位置概念，或許會有人不太喜歡。
總之，轉置就是一個簡單的處理，不只對方陣，對任何的矩陣都可以用。
餘因子其實就是在行列式降階時的那個概念，「去掉行列後留下來的因子」
a 的餘因子就是去掉有 a 的行和列
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所以是 ![]()
而取餘因子時，也要考慮正負號，像是 b 的餘因子就是
就像做降階時的正負相間排列，在學校和前面文章都有提到，就不重提了。
把這個概念從行列式推到矩陣，
因此得出，一個方陣的餘因子矩陣
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的餘因子矩陣為
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注意到，餘因子矩陣裡面放的不是矩陣，而是行列式，所以說，它也是一個9個數字的方陣。
我們很容易直接聯想到這個矩陣應該和行列式的降階有關係，因為取元素的方法一模一樣。
的確，如果把原矩陣的第一列和餘因子矩陣的第一列做內積，就會得到原矩陣的三階行列式降階後的模樣，其他列也一樣，行也一樣。
所以，很自然的會想把兩矩陣相乘，但是若直接相乘的話，矩陣乘法規定是列和行內積，而不是我們所想的列和列、行和行內積，所以這時就要先做 轉置 ，然後相乘
如果把原矩陣命名為 A 的話，那結果就是
先看前面結果的主對角線，三個 det(A) 都是由和降階等價的內積得來的，然後其他部分很神奇的，全部項都會抵消掉變成0，沒有一個例外。我們取A的第一列和右邊第二行相乘看看過程
再繼續思考下去，如果一開始沒有轉置，而是直接相乘會得出什麼？或是把 A 和餘因子矩陣交換相乘結果會如何？
我們拿A的第一列和沒有轉置的第一行餘因子相乘看看會得出什麼
繼續相乘下去就會知道每一元素都是這樣完全不可相消的六個項，可見這應該沒有意義。
所以我們現在知道，如果沒有轉置，結果會很難看，但可想而知，也不能兩個矩陣都轉置，
因此，這兩個矩陣要相乘，一定要且只需要有一個矩陣轉置，在這個條件之下，來看看交換相乘的結果。
其中一種正常情況看過了，剩下三種：
A在左，A轉置 ； A在右，A轉置 ； A在右，餘因子矩陣轉置。
首先看第一種，我們在這裡設一個符號以維持版面整潔俐落，
設
a 的餘因子(不含正負號)表示為
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（這當然不是通用符號），
先取 A 轉置的第一列和餘因子第一行相乘結果為
所以第一種情況等於行列式取各行來降階，答案一樣會是
第二種情況是上面第一種的交換，
不用測試了，看一下就知道答案還是一樣
最後一種情況是正常情況的交換，
這也是看一下就知道，依舊同樣的答案。
看到這裡，直覺上應該稍微浮現出什麼來了，餘因子矩陣同時和兩個計算相關，一個是行列式降階，再來別忘了剛剛的答案旁邊有一個不怎麼起眼的小東西是
兩個矩陣不但交換之後答案一樣，而且還和 det(A) 和 I 有關係，
就是反方陣。
只是我們在高二下沒有看過三階矩陣的反方陣，沒關係，二階大家都看到煩了，
我的課本上說這個公式是由克拉瑪公式算出來的，不知道其他版本有沒有給計算過程，
不過由餘因子矩陣，幾個步驟就得出這個公式來了，而且還可以同時知道三階四階矩陣的公式
首先一個二階方陣 A
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的餘因子矩陣為
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把餘因子矩陣做轉置再和 A 相乘，我們知道一樣會得出det(A)·I
最後把 det(A) 除到左邊，就得到公式了
所以老師說的「把 a d 交換，b c 加負號」，
來自於我們熟悉的行列式降階，只是我們很少去想二階行列式的降階，因為和斜線相乘一模一樣，更何況要想到矩陣，還要轉置，否則 b c 為什麼不用交換？
三階反方陣同理，轉置後的餘因子矩陣乘上行列式值倒數。
再來要從這個方向解釋前面矩陣對角化的 P，為什麼剛好可以放特徵向量。
設P為
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(X,Y)、
(V,U)是二階方陣
B 的特徵向量，對應的特徵值分別為
C、
D，
所以我們知道，P 在 B矩陣 右邊相乘之後會等於
這時如果再乘上P的反方陣，結果就會是
根據剛剛的經驗和事實，這兩個矩陣相乘的結果只有主對角線有數字，其他都是0。
所以我們只看相乘之後主對角線上的元素，分別是
也依照事實和經驗，知道會等於
所以最後就是
餘因子最後一個部分來探討一下三階以上方陣的特徵多項式，
前面在看二階方陣的特徵多項式，一定對最後的常數項特別有感覺，把它改寫一下就是
再往前一項看，其實 a 和 d 剛好是主對角線上的元素，所以是否可以猜測特徵多項式的係數
其實有規律，而且和主對角線有關係，
以下就再破例用下標一次，為了方便理解，我們把矩陣各個元素都定為e，特徵值為C，
同時把主對角線上的元素e，從第一列開始編上1號，以此類推，所以一個三階方陣就表示為
再來的計算用到前面用過的行列式性質，
只是下面用的是列，首先從二階方陣開始，特徵多項式為
觀察結果，紅色是C平方項，中間兩項紫色是C一次方項，藍色則成為常數項，也就是此矩陣的
行列式，因為經過兩次分解，所以是
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個行列式，C各次方的係數個數分別是
1, 2, 1 。再來看三階方陣，就會越來越看出規則，只是為了節省版面，省略中間幾個步驟，
同樣觀察結果，也想想上面二階的結果，可以看出，
最後的八個行列式中的每一列，不外乎都是由
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（只差在主對角線元素的下標號碼會不同，也就是所在的列不同）
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（只差在
-C 位置不同，但都是在主對角線上）
這兩種組合構成，而若是再把e的下標省略掉，重新排列並加上顏色的話，
由此更可以看出規律，
紅色C三次方項由三個
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組成，
粉紅C二次方項由兩個
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和一個
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組成，
紫色C一次方項由一個
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和兩個
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組成，
藍色常數項由三個
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構成，
顯然這是種排列組合的關係，
要形成n次方項的係數，就是從三列裡面取n列來放
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。
把這些行列式對有-C的列做降階展開，然後合併各次方的係數，得到
各次方係數個數分別是 1, 3, 3, 1，心裡的底已經出來了，這就是
現在已經確定，各次方項係數（行列式）的個數，就是從階數取各次方的組合數，
同時也別忘了各次方之間的正負號，就是 -1 的各次方，像C三次方前面就是-1的三次方。
再來要確定每一項各是什麼。
這裡取元素的方法就像是取餘因子，但是只能用在主對角線上的元素，而且不限一次一個，
取出來的方陣叫做主子陣（principal submatrix），它的行列式就叫主子式（principal minor）。
像是上面一次方項的係數，就是一次消去一個主對角線元素行列的所有可能：
二次方項就是一次消去兩個元素：
從一開始的結果知道，會形成主子式取法的原因是
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這一列的不同數量和位置，
導致在降階時形成等價於這種取法的行列式。
所以，最後來做一次四階方陣的特徵多項式，作為這一段的結尾，
文章在這裡再次切開，接續2.2
創作內容
自己的高中數學整理 -2.1- 行列式、矩陣的餘因子
變成 
q r 也是一樣的方法 
，p r 同理
，T 就是轉置的意思。
，
所以是 
的餘因子矩陣為
（這當然不是通用符號），
的餘因子矩陣為
(X,Y)、(V,U)是二階方陣 B 的特徵向量，對應的特徵值分別為C、D，
個行列式，C各次方的係數個數分別是 1, 2, 1 。
（只差在主對角線元素的下標號碼會不同，也就是所在的列不同）
（只差在 -C 位置不同，但都是在主對角線上）
組成，
和一個
組成，
和兩個
組成，
構成，
。
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