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若是完全沒聽過幾何代數"Geometric algebra"的讀者(注意不是代數幾何"Algebraic geometry")，建議先看前兩篇了解一下基礎的運算規則與數學性質，因為此篇仍會提到幾何積。
外積(Outer product)
$$
\begin{aligned}
& \textbf{a} \wedge \textbf{b} = - \textbf{b} \wedge \textbf{a}
\end{aligned}
$$
由上述性質可以推導出乘以相同向量時會等於0，若把上式中的$\textbf{b}$換成$\textbf{a}$：
$$
\begin{aligned}
& \textbf{a} \wedge \textbf{a} = -\textbf{a} \wedge \textbf{a} = 0
\end{aligned}
$$
外積可以把多個向量結合成更高維度的幾何元素，上述兩個性質可解讀為向量的順序決定了子空間的方向，且相同方向的向量無法形成子空間。
我們會把$k$個向量的外積結果稱作$k$-blade，該blade的grade為$k$。
0-blade表示0維的子空間，可視為原點上的點，是一個純量
1-blade表示1維的子空間，為一個向量2-blade表示2維的子空間，為一個平面
以此類推
$k$-blade的線性組合稱作$k$-vector，其中2-vector又稱作bivector，3-vector又稱作trivector。若是不同grade的vector相加在一起，則稱作multivector，例如上一篇文章的rotor就是一個multivector。
舉個例子，$\textbf{a} \wedge \textbf{b}$代表以向量$\textbf{a}$與$\textbf{b}$為基底所擴展的子空間，因為是2個向量的外積，因此$\text{grade}(\textbf{a}\wedge \textbf{b}) = 2$。若要檢查向量$\textbf{x}$是否位於此子空間中，只需測試$\textbf{x} \wedge \textbf{a} \wedge \textbf{b}$是否為0。因為若$\textbf{x}$位於該子空間，則$\textbf{x}$可以寫成$\textbf{a}$與$\textbf{b}$的線性組合$\mathbf{x}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}$，其中$\alpha$和$\beta$是純量，於是：
$$
\begin{aligned}
\textbf{x} \wedge \textbf{a} \wedge \textbf{b}
&= (\alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b}) \wedge (\textbf{a} \wedge \textbf{b})\\
&= \cancel{\alpha \textbf{a} \wedge (\textbf{a} \wedge \textbf{b})} + \cancel{\beta \textbf{b} \wedge (\textbf{a} \wedge \textbf{b})} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
外積式子展開後可以得到子空間的面積或體積。在$\mathbb{R}^2$空間中，將平面$\textbf{a} \wedge \textbf{b}$式子展開：
$$
\begin{aligned}
\textbf{a} \wedge \textbf{b}
&= (a_1 \textbf{e}_1 + a_2 \textbf{e}_2) \wedge (b_1 \textbf{e}_1 + b_2 \textbf{e}_2) \\
&= \cancel{a_1b_1\ \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_1} + a_1b_2 \ \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 + a_2b_1\ \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_1 + \cancel{a_2b_2\ \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_2} \\
&=(a_1b_2-a_2b_1)\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 \\
&= \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{vmatrix} \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2
\end{aligned}
$$
從上式可發現$\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2$的係數就是$\textbf{a}$與$\textbf{b}$所形成平行四邊形的面積，而且還恰好能寫成行列式。$\mathbb{R}^3$空間的情況則需要三個向量的外積，同樣$\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_3$的係數會是三向量所形成的平行六面體的體積，而且也能寫成行列式。這個規則也能用在更高的維度。
$$
\begin{aligned}
\textbf{a} \wedge \textbf{b} \wedge \textbf{c}
&= \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{vmatrix} \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_3
\end{aligned}
$$
形狀改變與克拉瑪法則
假設有一條線通過$\textbf{a}$點且方向與$\textbf{b}$相同，只要向量$\textbf{c}$的終點位於該線上，$\textbf{c}$與$\textbf{b}$所形成的平行四邊形面積會等同於$\textbf{a}$與$\textbf{b}$所形成的面積。證明也很簡單：
$$
\begin{aligned}
\textbf{c} \wedge \textbf{b}
&= (\textbf{a}+\beta\textbf{b})\wedge \textbf{b}\\
&= \textbf{a} \wedge \textbf{b} + \cancel{\beta \textbf{b}\wedge \textbf{b}}\\
&= \textbf{a} \wedge \textbf{b}
\end{aligned}
$$
現在我們來看形狀可以變化的性質怎麼用來解方程式，見下圖。
設$\mathbb{R}^2$空間中有向量$\textbf{c}=\alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b}$，其中向量$\textbf{a}$、$\textbf{b}$、$\textbf{c}$為已知，求純量$\alpha$與$\beta$的值：
$$
\begin{aligned}
\textbf{c} \wedge \textbf{b}
&= (\textbf{a}+\beta\textbf{b})\wedge \textbf{b}\\
&= \textbf{a} \wedge \textbf{b} + \cancel{\beta \textbf{b}\wedge \textbf{b}}\\
&= \textbf{a} \wedge \textbf{b}
\end{aligned}
$$
現在我們來看形狀可以變化的性質怎麼用來解方程式，見下圖。
設$\mathbb{R}^2$空間中有向量$\textbf{c}=\alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b}$，其中向量$\textbf{a}$、$\textbf{b}$、$\textbf{c}$為已知，求純量$\alpha$與$\beta$的值：
$$
\displaylines{
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
c_1\\
c_2
\end{bmatrix}
\\ \\
\alpha = \frac{
\begin{vmatrix}
\textcolor{magenta}{c_1} & b_1 \\
\textcolor{magenta}{c_2} & b_2 \\
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
\end{vmatrix}
}, \enspace
\beta = \frac{
\begin{vmatrix}
a_1 & \textcolor{magenta}{c_1} \\
a_2 & \textcolor{magenta}{c_2} \\
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2 \\
\end{vmatrix}
}
}
$$
解方程式除了上述方法，還可以用相同向量外積等於0的性質來去掉不想要的變數。設$\mathbb{R}^3$空間中有向量$\textbf{d}=\alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b} + \gamma \textbf{c}$，下面示範求$\beta$時，可在等號左右都用外積乘以$\textbf{a}\wedge\textbf{c}$來去掉$\alpha$與$\gamma$：
$$
\displaylines{
\begin{aligned}
\textbf{d} &= \alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b} + \gamma \textbf{c} \\
\implies \textbf{d} \wedge (\textbf{a}\wedge\textbf{c}) &= (\alpha \textbf{a} + \beta \textbf{b} + \gamma \textbf{c})\wedge (\textbf{a}\wedge\textbf{c}) \\
\implies \textbf{d} \wedge \textbf{a}\wedge\textbf{c}& = \cancel{\alpha \textbf{a} \wedge (\textbf{a}\wedge\textbf{c})} + \beta \textbf{b} \wedge (\textbf{a}\wedge\textbf{c}) + \cancel{\gamma \textbf{c} \wedge (\textbf{a}\wedge\textbf{c})}\\
\implies \textbf{d} \wedge \textbf{a}\wedge\textbf{c}& = \beta (\textbf{b} \wedge \textbf{a}\wedge\textbf{c})
\end{aligned}
\\ \\
\beta = \frac{\textcolor{magenta}{\textbf{d}} \wedge \textbf{a}\wedge\textbf{c}}{\textbf{b} \wedge \textbf{a}\wedge\textbf{c}} = \frac{\textbf{a} \wedge \textcolor{magenta}{\textbf{d}} \wedge\textbf{c}}{\textbf{a} \wedge \textbf{b}\wedge\textbf{c}}
}
$$
計算$\alpha$和$\gamma$時可如法炮製，克拉瑪法則的公式會自然地跑出來。
形狀可以改變的特性可用來把算式改成容易計算的形式，例如將$k$-blade $\textbf{A}$的$k$個基底都改成彼此正交，因為兩向量的幾何積等於內積加外積，這時$\textbf{A}=\textbf{a}_1\wedge \textbf{a}_2 \wedge \dots \wedge \textbf{a}_k$可以寫成$\textbf{A}=\textbf{a}_1 \textbf{a}_2 \dots \textbf{a}_k$。這個性質在下一節可以用來證明特定狀況下內積可替換為幾何積。
內積(Inner product)
不同於以往只能對兩個向量做內積，幾何代數可以對兩個blade做內積。行為有點像是乘法結合了減法，會得到彼此grade相減的blade。內積有分配律但沒有結合律，交換律只有兩個blade的grade相等時才存在。grade相等時內積結果會是純量，此時內積又稱作純量積(scalar product)，符號為"$*$"。使用這個符號時，若兩blade的grade不同時結果為0。純量之間的純量積等同於一般乘法，向量之間的純量積如同一般內積，$k$-blade之間純量積公式如下：
$$
\displaylines{
\textbf{A} = \textbf{a}_1 \wedge \textbf{a}_2 \wedge \dots \wedge \textbf{a}_k\\
\textbf{B} = \textbf{b}_1 \wedge \textbf{b}_2 \wedge \dots \wedge \textbf{b}_k \\ \\
\textbf{A} * \textbf{B} =
\begin{vmatrix}
\textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_1 \\
\textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_1 \\
\end{vmatrix}
}
$$
類似於向量內積，純量積可用來求得平面之間的角度：
$$
\textbf{A} * \textbf{B} = \lVert \textbf{A} \rVert \lVert \textbf{B} \rVert \cos \theta
$$
但要注意空間超過三維後上式不一定適用，因為計算結果為0時可能意味著平面需要額外旋轉才能彼此對齊。純量積也可用來計算長度、面積、體積等的平方，下式中的波浪符號代表向量以相反順序外積：
$$
\lVert \textbf{A} \rVert^2 = \textbf{A} * \widetilde{\mathbf{A}}
$$
接下來看兩blade的grade不相等的情況，此時有兩種內積，一個稱作left contraction，符號為$\rfloor$，另一個稱作right contraction，符號為$\lfloor$。設有$k$-blade $\textbf{A}_k$與$l$-blade $\textbf{B}_l$，在一般情況下，grade的變化如下：
$$
\displaylines{
\text{grade}(\textbf{A}_k \rfloor \textbf{B}_l) = l-k \\
\text{grade}(\textbf{A}_k \lfloor \textbf{B}_l) = k-l
}
$$
注意如果計算出的grade小於0，則內積結果為0。在$k=l$時，contraction的計算結果等同於純量積，因此contraction相對比較泛用。兩種contraction中，比較常用的是left contraction $\rfloor$，因此下列基本公式都以left contraction為主。
首先來看純量與blade的內積，此時內積相當於一般乘法：
$$
\alpha \rfloor \textbf{B} = \alpha \textbf{B}
$$
向量與向量的contraction等同一般向量內積：
$$
\textbf{a} \rfloor \textbf{b} = \textbf{a} \cdot \textbf{b}
$$
向量與$k$-blade的內積為：
$$
\mathbf{x} \rfloor (\mathbf{a}_1 \wedge \mathbf{a}_2 \wedge \dots \wedge\mathbf{a}_k) = \displaystyle\sum^k_{i=1}(-1)^{i-1} \mathbf{a}_1 \wedge \mathbf{a}_2 \wedge \dots \wedge (\mathbf{x} \rfloor \mathbf{a}_i) \wedge \dots \wedge \mathbf{a}_k
\tag{1}
$$
遇到兩個blade的內積時沒辦法一次算出結果，需要代入下面的公式(2)，將第一個blade拆出一個向量後就能代入式(1)，如此反覆直到第一個blade全被拆解完。公式(3)因為與(2)成對所以放在一起，兩個都是很常用的公式：
$$
(\textbf{A} \wedge \textbf{B}) \rfloor \textbf{C} = \textbf{A} \rfloor (\textbf{B} \rfloor \textbf{C})
\tag{2}
$$
$$
(\textbf{A} \rfloor \textbf{B}) \rfloor \textbf{C} = \textbf{A} \wedge(\textbf{B} \rfloor \textbf{C}) \enspace \text{if } \textbf{A} \subseteq \textbf{C}
\tag{3}
$$
偶爾無可避免地還是會見到right contraction，可用下式來轉換成left contraction，其中$\text{grade}(\mathbf{A})=a$，$\text{grade}(\mathbf{B})=b$：
$$
\tag{4}
\textbf{B} \lfloor \textbf{A} = (\widetilde{\textbf{A}} \rfloor \widetilde{\textbf{B}})\widetilde{\phantom{B}} = (-1)^{a(b+1)} \textbf{A} \rfloor \textbf{B}
$$
Contraction也擁有我們所熟悉的內積性質，即計算結果會包含兩blade的長度(或面積、體積)和彼此的角度資訊，因此若兩blade彼此垂直會得到0。除此之外，由於計算結果可以出現grade大於0的blade，contraction有一些額外的性質。
以$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$為例，可以從公式(1)中觀察到內積結果會是以$\textbf{B}$的一部分基底所展開的子空間，所以子空間$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$會位於$\textbf{B}$內。另外，假設$\textbf{a}$為位於$\textbf{A}$中的任意向量，從$\textbf{a} \rfloor (\textbf{A} \rfloor \textbf{B})=0$得知$\textbf{A}$中的所有向量都與$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$垂直，可利用公式(2)來證明此性質：
$$
\begin{aligned}
\textbf{a} \rfloor (\textbf{A} \rfloor \textbf{B}) &= (\textbf{a} \wedge \textbf{A}) \rfloor \textbf{B} \\
&= 0 \rfloor \textbf{B} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
$$
\displaylines{
\textbf{A} = \textbf{a}_1 \wedge \textbf{a}_2 \wedge \dots \wedge \textbf{a}_k\\
\textbf{B} = \textbf{b}_1 \wedge \textbf{b}_2 \wedge \dots \wedge \textbf{b}_k \\ \\
\textbf{A} * \textbf{B} =
\begin{vmatrix}
\textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_1 \cdot \textbf{b}_1 \\
\textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_2 \cdot \textbf{b}_1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_k & \textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_{k-1} & \dots & \textbf{a}_k \cdot \textbf{b}_1 \\
\end{vmatrix}
}
$$
類似於向量內積，純量積可用來求得平面之間的角度：
$$
\textbf{A} * \textbf{B} = \lVert \textbf{A} \rVert \lVert \textbf{B} \rVert \cos \theta
$$
但要注意空間超過三維後上式不一定適用，因為計算結果為0時可能意味著平面需要額外旋轉才能彼此對齊。純量積也可用來計算長度、面積、體積等的平方，下式中的波浪符號代表向量以相反順序外積：
$$
\lVert \textbf{A} \rVert^2 = \textbf{A} * \widetilde{\mathbf{A}}
$$
接下來看兩blade的grade不相等的情況，此時有兩種內積，一個稱作left contraction，符號為$\rfloor$，另一個稱作right contraction，符號為$\lfloor$。設有$k$-blade $\textbf{A}_k$與$l$-blade $\textbf{B}_l$，在一般情況下，grade的變化如下：
$$
\displaylines{
\text{grade}(\textbf{A}_k \rfloor \textbf{B}_l) = l-k \\
\text{grade}(\textbf{A}_k \lfloor \textbf{B}_l) = k-l
}
$$
注意如果計算出的grade小於0，則內積結果為0。在$k=l$時，contraction的計算結果等同於純量積，因此contraction相對比較泛用。兩種contraction中，比較常用的是left contraction $\rfloor$，因此下列基本公式都以left contraction為主。
首先來看純量與blade的內積，此時內積相當於一般乘法：
$$
\alpha \rfloor \textbf{B} = \alpha \textbf{B}
$$
向量與向量的contraction等同一般向量內積：
$$
\textbf{a} \rfloor \textbf{b} = \textbf{a} \cdot \textbf{b}
$$
向量與$k$-blade的內積為：
$$
\mathbf{x} \rfloor (\mathbf{a}_1 \wedge \mathbf{a}_2 \wedge \dots \wedge\mathbf{a}_k) = \displaystyle\sum^k_{i=1}(-1)^{i-1} \mathbf{a}_1 \wedge \mathbf{a}_2 \wedge \dots \wedge (\mathbf{x} \rfloor \mathbf{a}_i) \wedge \dots \wedge \mathbf{a}_k
\tag{1}
$$
遇到兩個blade的內積時沒辦法一次算出結果，需要代入下面的公式(2)，將第一個blade拆出一個向量後就能代入式(1)，如此反覆直到第一個blade全被拆解完。公式(3)因為與(2)成對所以放在一起，兩個都是很常用的公式：
$$
(\textbf{A} \wedge \textbf{B}) \rfloor \textbf{C} = \textbf{A} \rfloor (\textbf{B} \rfloor \textbf{C})
\tag{2}
$$
$$
(\textbf{A} \rfloor \textbf{B}) \rfloor \textbf{C} = \textbf{A} \wedge(\textbf{B} \rfloor \textbf{C}) \enspace \text{if } \textbf{A} \subseteq \textbf{C}
\tag{3}
$$
偶爾無可避免地還是會見到right contraction，可用下式來轉換成left contraction，其中$\text{grade}(\mathbf{A})=a$，$\text{grade}(\mathbf{B})=b$：
$$
\tag{4}
\textbf{B} \lfloor \textbf{A} = (\widetilde{\textbf{A}} \rfloor \widetilde{\textbf{B}})\widetilde{\phantom{B}} = (-1)^{a(b+1)} \textbf{A} \rfloor \textbf{B}
$$
Contraction也擁有我們所熟悉的內積性質，即計算結果會包含兩blade的長度(或面積、體積)和彼此的角度資訊，因此若兩blade彼此垂直會得到0。除此之外，由於計算結果可以出現grade大於0的blade，contraction有一些額外的性質。
以$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$為例，可以從公式(1)中觀察到內積結果會是以$\textbf{B}$的一部分基底所展開的子空間，所以子空間$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$會位於$\textbf{B}$內。另外，假設$\textbf{a}$為位於$\textbf{A}$中的任意向量，從$\textbf{a} \rfloor (\textbf{A} \rfloor \textbf{B})=0$得知$\textbf{A}$中的所有向量都與$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$垂直，可利用公式(2)來證明此性質：
$$
\begin{aligned}
\textbf{a} \rfloor (\textbf{A} \rfloor \textbf{B}) &= (\textbf{a} \wedge \textbf{A}) \rfloor \textbf{B} \\
&= 0 \rfloor \textbf{B} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
正交補餘
綜上所述，我們知道子空間$\textbf{A} \rfloor \textbf{B}$的維度會是$\text{grade}(\textbf{B})-\text{grade}(\textbf{A})$，且$\textbf{A}\rfloor \textbf{B}$會位於$\textbf{B}$內，並且與$\textbf{A}$垂直，這正好是正交補餘所需要的幾何性質。假設$\textbf{B}$為$\mathbb{R}^3$空間中的平面，若我們想求$\textbf{B}$的正交補餘，只需計算$\textbf{B}\rfloor \textbf{I}_3^{-1}$。子空間$\textbf{B}\rfloor \textbf{I}_3^{-1}$位於$\textbf{I}_3$空間中(因為$\textbf{I}_3=-\textbf{I}_3^{-1}$)，維度是$3-2=1$，於是我們得到一個與平面$\textbf{B}$垂直的向量。正交補餘是很常見的運算，通常會把$\mathbf{B}$的正交補餘簡寫為$\textbf{B}^*$。
外積一節最後提到的性質可用來證明正交補餘中的內積替換為幾何積會得到相同結果(讀者可嘗試證明看看)，在第二篇也能看到正交補餘用幾何積來計算會比內積容易。
外積一節最後提到的性質可用來證明正交補餘中的內積替換為幾何積會得到相同結果(讀者可嘗試證明看看)，在第二篇也能看到正交補餘用幾何積來計算會比內積容易。
Projection
接下來我們來看另一個常見應用，若想求得向量$\textbf{a}$在向量$\textbf{b}$上的正交投影(正射影)，傳統的公式是$\dfrac{\textbf{a}\cdot\textbf{b}}{\lVert \textbf{b} \rVert^{2}} \textbf{b}$。在第二篇裡我們知道向量$\textbf{b}$的乘法反元素$\textbf{b}^{-1}$是$\dfrac{\textbf{b}}{\lVert \textbf{b} \rVert^2}$，於是傳統公式可改寫成$(\textbf{a} \cdot \textbf{b}) \textbf{b}^{-1}$。為了更容易看出其中的幾何意義，我們再將公式改為$(\textbf{a} \rfloor \textbf{b}) \rfloor \textbf{b}^{-1}$(又一個內積與幾何積可互換的情況)。此式中$\mathbf{a} \rfloor \mathbf{b}$為純量，因此帶出一些關於純量的幾何性質—由於純量被視為原點，原點被包含於所有blade之中；純量垂直於向量，可解釋為純量所包含的唯一向量是"0"向量(係數全為0的向量)。回頭觀察子空間$(\textbf{a} \rfloor \textbf{b}) \rfloor \textbf{b}^{-1}$，維度是$1-(1-1)=1$，位於$\mathbf{b}$內。由於接連與$\mathbf{b}$和$\mathbf{b}^{-1}$作內積，$\mathbf{b}$的長度和(正反)方向的資訊都被抵消，由$\lVert \mathbf{a} \rVert \cos \theta$來決定長度和方向，所以最後得到的是向量$\mathbf{a}$在$\mathbf{b}$上的正交投影。
看完向量到向量上的正交投影，你是否在想向量到平面上的正交投影如何計算？其實從$(\textbf{a} \rfloor \textbf{b}) \rfloor \textbf{b}^{-1}$的幾何性質就能夠看出此公式把向量$\mathbf{b}$換成平面$\mathbf{B}$也能通用，如下圖：
事實上向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf{b}$都能夠被替換成任意維度的子空間，記得使用幾何積的版本$(\mathbf{A} \rfloor \mathbf{B})\mathbf{B}^{-1}$，才能省點計算功夫。
Rejection
我們可以利用向量$\mathbf{b}$來把$\mathbf{a}$分解成兩個向量，已知$\mathbf{bb}^{-1}= 1$，所以$\mathbf{a} = \mathbf{a}(\mathbf{bb}^{-1})$。再利用幾何積和結合律的性質：
$$
\begin{align*}
\mathbf{a} &= (\mathbf{ab})\mathbf{b}^{-1}\\
&= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1} \\
&= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1} + (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}
\end{align*}
$$
見下圖，可觀察到第一個向量$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}$是上一節提到的投影部分。第二個向量$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}$是垂直於$\mathbf{b}$的部分，此部分稱作rejection。
$$
\begin{align*}
\mathbf{a} &= (\mathbf{ab})\mathbf{b}^{-1}\\
&= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1} \\
&= (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1} + (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}
\end{align*}
$$
見下圖，可觀察到第一個向量$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}$是上一節提到的投影部分。第二個向量$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}$是垂直於$\mathbf{b}$的部分，此部分稱作rejection。
$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})\mathbf{b}^{-1}$當中的幾何積可以用right contraction替換，變成$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \lfloor \mathbf{b}^{-1}$。可用公式(4)轉換成left contraction，得到$-\mathbf{b}^{-1} \rfloor (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})$。我們若用內積的幾何性質來檢驗這個式子，可知這個子空間是一個位於平面$\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$中且與$\mathbf{b}$垂直的向量。和投影公式一樣，若想要求向量$\mathbf{a}$對平面的rejection，只需把向量$\mathbf{b}$換成平面$\mathbf{B}$，公式變為$(\mathbf{a} \wedge \mathbf{B})\mathbf{B}^{-1}$。
Gram-Schmidt正交化
設有三個向量$\mathbf{v}_{1}, \ \mathbf{v}_{2},\ \mathbf{v}_{3}$，要從這三個向量求得三個正交基底$\mathbf{b}_{1}, \ \mathbf{b}_{2},\ \mathbf{b}_{3}$。首先把第一個向量直接當作基底：
$$
\mathbf{b}_{1} = \mathbf{v}_{1}
$$
使用rejection公式，用$\mathbf{v}_2$求得垂直於$\mathbf{b}_1$的向量：
$$
\mathbf{b}_{2} = (\mathbf{v}_{2} \wedge \mathbf{b}_{1})\mathbf{b}_{1}^{-1}
$$
繼續用rejection公式，用$\mathbf{v}_3$求得垂直於$\mathbf{b}_{1}\wedge \mathbf{b}_2$平面的向量：
$$
\mathbf{b}_{3} = \big(\mathbf{v}_{3} \wedge (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) \big)(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2})^{-1}
$$
Gram-Schmidt正交化不需要記特別的公式，只需要反覆使用rejection公式即可得到彼此正交的三個基底。上式中$(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2})^{-1}=\dfrac{(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}){\widetilde{\phantom{B}}}}{\lVert \mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2} \rVert^{2}}$，當中的波浪符號代表以相反順序外積。平面的面積平方可以用純量積求得：
$$
\begin{align*}
\lVert \mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2} \rVert^{2} &= (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) * (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}){\widetilde{\phantom{B}}}\\
&= (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) * (\mathbf{b}_{2} \wedge \mathbf{b}_{1})\\
&= \begin{vmatrix}
\mathbf{b}_{1} \cdot \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{1}\cdot \mathbf{b}_{2} \\
\mathbf{b}_{2} \cdot \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{2}\cdot \mathbf{b}_{2}
\end{vmatrix}\\
&= \lVert \mathbf{b}_{1}\rVert^{2}\lVert \mathbf{b}_{2}\rVert^{2}
\end{align*}
$$
將幾何積換成內積並代入內積公式，就能得到大家熟悉的Gram-Schmmidt正交化公式，讀者可以嘗試計算看看。
$$
\mathbf{b}_{1} = \mathbf{v}_{1}
$$
使用rejection公式，用$\mathbf{v}_2$求得垂直於$\mathbf{b}_1$的向量：
$$
\mathbf{b}_{2} = (\mathbf{v}_{2} \wedge \mathbf{b}_{1})\mathbf{b}_{1}^{-1}
$$
繼續用rejection公式，用$\mathbf{v}_3$求得垂直於$\mathbf{b}_{1}\wedge \mathbf{b}_2$平面的向量：
$$
\mathbf{b}_{3} = \big(\mathbf{v}_{3} \wedge (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) \big)(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2})^{-1}
$$
Gram-Schmidt正交化不需要記特別的公式，只需要反覆使用rejection公式即可得到彼此正交的三個基底。上式中$(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2})^{-1}=\dfrac{(\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}){\widetilde{\phantom{B}}}}{\lVert \mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2} \rVert^{2}}$，當中的波浪符號代表以相反順序外積。平面的面積平方可以用純量積求得：
$$
\begin{align*}
\lVert \mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2} \rVert^{2} &= (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) * (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}){\widetilde{\phantom{B}}}\\
&= (\mathbf{b}_{1} \wedge \mathbf{b}_{2}) * (\mathbf{b}_{2} \wedge \mathbf{b}_{1})\\
&= \begin{vmatrix}
\mathbf{b}_{1} \cdot \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{1}\cdot \mathbf{b}_{2} \\
\mathbf{b}_{2} \cdot \mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{2}\cdot \mathbf{b}_{2}
\end{vmatrix}\\
&= \lVert \mathbf{b}_{1}\rVert^{2}\lVert \mathbf{b}_{2}\rVert^{2}
\end{align*}
$$
將幾何積換成內積並代入內積公式，就能得到大家熟悉的Gram-Schmmidt正交化公式，讀者可以嘗試計算看看。
結語
外積除了可以表達子空間，還能用更直覺的方式來解釋一些行列式的性質。例如行列式兩行互換會改變正負號、把其中一行的倍數加到另一行去不會改變行列式的值，或是某一行是其他行的線性組合時行列式的結果為0等等。而內積一節提到幾個可替換成幾何積的情況，能寫出證明的讀者應可看出什麼情況可以替換。
內外積其實是一體兩面，內積代表對稱部分(symmetric，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$)，外積代表反對稱部分(antisymmetric，$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=-\mathbf{b}\wedge \mathbf{a}$)，幾何積將兩種性質結合起來：
$$
\begin{align*}
\mathbf{ab}&= \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\\
&= \frac{1}{2}(\mathbf{ab}+\mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab}-\mathbf{ba})
\end{align*}
$$
內外積的計算結果分屬不同grade，因此相加後兩者的資訊仍能夠保留，於是幾何積有足夠的資訊能做「除」的動作，而內外積各自沒有對應的除法。
了解內外積的幾何意義，有助於從幾何的邏輯來解讀或打造演算法，這也是幾何代數比較直覺易懂的原因之一。不過這裡介紹的性質也還是在EGA的範圍內，PGA又有額外的幾何解讀方式。
內外積其實是一體兩面，內積代表對稱部分(symmetric，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$)，外積代表反對稱部分(antisymmetric，$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}=-\mathbf{b}\wedge \mathbf{a}$)，幾何積將兩種性質結合起來：
$$
\begin{align*}
\mathbf{ab}&= \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\\
&= \frac{1}{2}(\mathbf{ab}+\mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab}-\mathbf{ba})
\end{align*}
$$
內外積的計算結果分屬不同grade，因此相加後兩者的資訊仍能夠保留，於是幾何積有足夠的資訊能做「除」的動作，而內外積各自沒有對應的除法。
了解內外積的幾何意義，有助於從幾何的邏輯來解讀或打造演算法，這也是幾何代數比較直覺易懂的原因之一。不過這裡介紹的性質也還是在EGA的範圍內，PGA又有額外的幾何解讀方式。
下一篇是短篇，簡單介紹力矩如何用外積表達。
