由1加到10＝55、由1加到100＝5050、由1加到1000＝500500，那麼由1加到∞會是多少呢？答案會是無限大嗎？
善意提醒：
昨天在youtube上看了一隻關於數學的有趣影片：驚人的總和，內容主要是討論由１開始，依序將整數往上相加，直至無限大（∞）為止，最終會得到什麼答案！
原本個人也是這麼思考的，不過看完這隻影片，個人瞬間明白為何它的標題要取名為「驚人的總和」了，因為最後的答案和自己想的竟然天差地遠，然而中間的計算邏輯卻又有其道理。
影片中採用了相當簡單且快速的證明方式，而且僅需要高中程度的數學能力即可充分理解證明的推演過程，在此分享給各位。
總之，請各位先看看下頭的影片吧（請開字幕）：
▲ 驚人的總和（內含中文字幕）
首先， Tony 假設了以下三個不同的數列（分別稱為Ｓ1、Ｓ2，以及Ｓ）：
很顯然地，Ｓ是我們所關心的問題，而另外兩個數列則是用來求解Ｓ的過程中需要用到的工具，一旦能解開Ｓ1、Ｓ2，Ｓ便能迎刃而解。
那麼，就先來看看Ｓ1吧！
很多人看到這個問題，直覺會認為答案應該是「0」，因為：
關於這個現象，Tony告訴我們：「關鍵是我們停在奇數位或是偶數位！」如果我們在偶數位停止加總，則Ｓ1的答案會變成第一種情況（０）；如果在奇數位停止加總，那麼Ｓ1的答案會變成第二種情況（１）。
Tony說：「不知道是奇數還是偶數，那就加起來取平均吧！所以答案是０.５！」
▲ 不知有多少人的心情是這種寫照呢？
「因為不確定是０或是１，就取平均值當答案，這未免太隨便了！」相信有這種想法的人應該不少，不過如果Ｓ1＝０.５的結果不成立，那麼接下來的推演就無法繼續下去了！
事實上，要證明這個結果，除了用取平均的方式外，還有其他的方式喔（而且至少存在兩種以上的方法），以下再提供「 Tony 解法」外的第二解法。
另一種Ｓ1的解法如下：
上述的推演方法是原影片中提到的另一支影片所介紹的，個人覺得比 Tony 提到的平均計算方式更加有說服力（雖然結果其實是相同的）。除了這兩種方式外，也還存在其他證明方式，總之Ｓ1＝１／２應該是沒有太大疑問的。
接著我們來看Ｓ2，這邊Tony採用了一個有點技巧性的解法：
首先，這是Ｓ2：
那麼，這是兩倍的Ｓ2，而Tony把第二個Ｓ2 往後順延一格，即〔〕中的內容：
如果把兩列的縱向數字（標記成同色以方便比較）直接相加：
看到「１－１＋１－１＋１－１＋１」，那不就是上頭出現過的Ｓ1嗎？
於是乎：
透過一些小技巧，我們可以順利推求出Ｓ2 ＝１／４
最後，終於到關鍵的Ｓ了，這次Tony一樣使用了小技巧，從「Ｓ－Ｓ2」出發：
當Ｓ減去Ｓ2時，由於兩個數列的奇數項是一致的，相減後為０；偶數列的數字相等，但正負號相反，相減後變為兩倍，因此變成「４、８、１２…」以４逐漸增加的等差級數。在此，如果把４提到外頭：
咦，括弧中的「１＋２＋３＋…」不就是Ｓ自身嗎，然又Ｓ2 ＝１／４，因此：
就這麼簡單地，我們證明了由１開始逐漸向上累加，最後的結果為－１／１２
話說，依據Tony的方法，還有其他更高階的證明方式，只是該影片是科普走向，所以他才採取了用簡單的數學就能證明的方式進行解說！
由於個人對於近代物理的領域涉獵不深，大概也只能解說數學的部分了，至於影片中提到這個公式在許多地方都有派上用場，究竟是哪裡呢？
善意提醒：
- 本文是關於數學的文章，對數學有恐懼者建議直接按「←」退出XD
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昨天在youtube上看了一隻關於數學的有趣影片：驚人的總和，內容主要是討論由１開始，依序將整數往上相加，直至無限大（∞）為止，最終會得到什麼答案！
由１加到無限大，答案難道不是無限大嗎？
原本個人也是這麼思考的，不過看完這隻影片，個人瞬間明白為何它的標題要取名為「驚人的總和」了，因為最後的答案和自己想的竟然天差地遠，然而中間的計算邏輯卻又有其道理。
影片中採用了相當簡單且快速的證明方式，而且僅需要高中程度的數學能力即可充分理解證明的推演過程，在此分享給各位。
總之，請各位先看看下頭的影片吧（請開字幕）：
▲ 驚人的總和（內含中文字幕）
影片中負責進行推演的學者 Tony Padilla（以下簡稱：Tony）是英國諾丁漢大學的副教授，他一開始就開宗明義地告訴大家：「答案是-1/12！」
▲ 嗯？教科書上確實是這麼寫的！
相信很多人聽到他這麼說，心裡一定大喊：「這怎麼可能？」吧！
由１加總到無限大，明明每個數字都大於０，最後的結果卻是一個小於零的分數？這很顯然是不合理，也不符合科學的。然而Tony卻告訴觀眾，這個答案不但合理，甚至已經被寫入弦理論（String theory）的教科書內。
雖然證明此結果的正式方式應該要使用黎曼（Zeta）函數，但畢竟這是一隻科普影片，因此Tony故意採用了一個較不嚴謹，卻相對簡單易懂的方式來證明，希望讓觀眾都能輕鬆入門。
因此，影片的主要內容，就是透過簡單的數學推論，來導出問題的答案！
首先， Tony 假設了以下三個不同的數列（分別稱為Ｓ1、Ｓ2，以及Ｓ）：
Ｓ1＝１－１＋１－１＋１－１＋…（持續至無窮項）
Ｓ2＝１－２＋３－４＋５－６＋…（持續至無窮項）
Ｓ ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋…（持續至無窮項）
很顯然地，Ｓ是我們所關心的問題，而另外兩個數列則是用來求解Ｓ的過程中需要用到的工具，一旦能解開Ｓ1、Ｓ2，Ｓ便能迎刃而解。
那麼，就先來看看Ｓ1吧！
Ｓ1＝１－１＋１－１＋１－１＋…
很多人看到這個問題，直覺會認為答案應該是「0」，因為：
如果像上頭一樣把所有的１、－１全部用括弧分組，那麼每組括弧裡剛好可以正負相抵，最後Ｓ1的答案是０。然而，我們也可以把括弧的位置調整一下，那麼Ｓ1將可以寫成下頭的形式：Ｓ1＝（１－１）＋（１－１）＋（１－１）＋…
＝（ ０ ）＋（ ０ ）＋（ ０ ）＋…
Ｓ1＝１+（－１＋１）+（－１＋１）＋（－１＋１）…
＝１+（ ０ ）＋（ ０ ）＋（ ０ ）…
咦！？原本答案應該是「０」的計算式，瞬間變成了「１」！
關於這個現象，Tony告訴我們：「關鍵是我們停在奇數位或是偶數位！」如果我們在偶數位停止加總，則Ｓ1的答案會變成第一種情況（０）；如果在奇數位停止加總，那麼Ｓ1的答案會變成第二種情況（１）。
問題是，當我們打算加總到無窮項的時候，究竟該算是基數還是偶數呢？
Tony說：「不知道是奇數還是偶數，那就加起來取平均吧！所以答案是０.５！」
不知道這個說法？大家是否可以接受呢？
▲ 不知有多少人的心情是這種寫照呢？
「因為不確定是０或是１，就取平均值當答案，這未免太隨便了！」相信有這種想法的人應該不少，不過如果Ｓ1＝０.５的結果不成立，那麼接下來的推演就無法繼續下去了！
事實上，要證明這個結果，除了用取平均的方式外，還有其他的方式喔（而且至少存在兩種以上的方法），以下再提供「 Tony 解法」外的第二解法。
另一種Ｓ1的解法如下：
首先，用１減去Ｓ1：
１－Ｓ1＝１－（１－１＋１－１＋１－１＋…）
＝１－ １＋１－１＋１－１＋１＋…
＝Ｓ1
→ ２Ｓ1＝１
→ Ｓ1＝０.５
上述的推演方法是原影片中提到的另一支影片所介紹的，個人覺得比 Tony 提到的平均計算方式更加有說服力（雖然結果其實是相同的）。除了這兩種方式外，也還存在其他證明方式，總之Ｓ1＝１／２應該是沒有太大疑問的。
接著我們來看Ｓ2，這邊Tony採用了一個有點技巧性的解法：
首先，這是Ｓ2：
Ｓ2＝１－２＋３－４＋５－６＋…
那麼，這是兩倍的Ｓ2，而Tony把第二個Ｓ2 往後順延一格，即〔〕中的內容：
２Ｓ2＝Ｓ2＋Ｓ2
＝１－２＋３－４＋５－６＋…
＋〔１－２＋３－４＋５－６＋…〕
如果把兩列的縱向數字（標記成同色以方便比較）直接相加：
２Ｓ2＝Ｓ2＋Ｓ2
＝１－２＋３－４＋５－６＋…
＋〔１－２＋３－４＋５－６＋…〕
＝１－１＋１－１＋１－１＋１…
看到「１－１＋１－１＋１－１＋１」，那不就是上頭出現過的Ｓ1嗎？
於是乎：
２Ｓ2 ＝１－１＋１－１＋１－１＋１…
＝Ｓ1
＝１／２
→ Ｓ2 ＝１／４
透過一些小技巧，我們可以順利推求出Ｓ2 ＝１／４
最後，終於到關鍵的Ｓ了，這次Tony一樣使用了小技巧，從「Ｓ－Ｓ2」出發：
Ｓ－Ｓ2＝ １＋２＋３＋４＋５＋６＋…
－〔１－２＋３－４＋５－６＋…〕
＝ ０＋４＋０＋８＋０＋１２＋…
當Ｓ減去Ｓ2時，由於兩個數列的奇數項是一致的，相減後為０；偶數列的數字相等，但正負號相反，相減後變為兩倍，因此變成「４、８、１２…」以４逐漸增加的等差級數。在此，如果把４提到外頭：
Ｓ－Ｓ2＝４〔 １＋ ２＋ ３＋… 〕
咦，括弧中的「１＋２＋３＋…」不就是Ｓ自身嗎，然又Ｓ2 ＝１／４，因此：
Ｓ－Ｓ2＝４Ｓ
→ ３Ｓ＝－Ｓ2＝－１／４
→ Ｓ＝－１／１２
→ Ｓ ＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋…＝－１／１２
就這麼簡單地，我們證明了由１開始逐漸向上累加，最後的結果為－１／１２
如何？是否有點微妙的感覺呢？
認為不該是這個答案，卻又覺得上頭的推演方式沒啥問題嗎？
話說，依據Tony的方法，還有其他更高階的證明方式，只是該影片是科普走向，所以他才採取了用簡單的數學就能證明的方式進行解說！
由於個人對於近代物理的領域涉獵不深，大概也只能解說數學的部分了，至於影片中提到這個公式在許多地方都有派上用場，究竟是哪裡呢？
我也很想知道，希望之後能有其他的介紹影片啊！
達人
