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此文嘗試用常見的應用來簡單介紹幾何代數(Geometric algebra)。相較於矩陣與複數，幾何代數的演算法有更簡單易懂的優點。只是若用筆算，將式子展開後的計算有點繁瑣，或許這是它一百多年來被打入冷宮的原因之一。但現今我們有了程式語言，便可去除缺點而保留優點。
旋轉矩陣
給定二維向量$\textbf{a} = (a_1, a_2)$，將它逆時針旋轉$\theta$度後得到向量$\textbf{a}' = (a'_1, a'_2)$。
旋轉公式如下：
$$\begin{bmatrix}
a'_1 \\
a'_2\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_1 \\
a_2\\
\end{bmatrix} \space
\\
a'_1 = a_1 \cos \theta - a_2 \sin \theta \\
a'_2 = a_1 \sin \theta + a_2 \cos \theta
$$
維度越高，公式推導與應用就出現越多麻煩。也難怪圖學發展了這麼久，偶爾還是會有人爭論要不要用矩陣來作旋轉。
注意儲存旋轉需要4個元素的矩陣，下面的複數旋轉法只需要兩個元素。
複數
把向量$(a_1, a_2)$寫成複數形式：$a_1 + a_2i$。將向量乘以$e^{i \theta}$便可將向量逆時針旋轉$\theta$度
利用尤拉公式$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$，可得到：
利用尤拉公式$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$，可得到：
$$
\begin{aligned}
(a_1 + a_2i) e^{i \theta} &= (a_1 + a_2i)(\cos \theta + i \sin \theta) \\
&= a_1 \cos \theta + a_1i \sin \theta + a_2i \cos \theta - a_2 \sin \theta \\
&= (a_1 \cos \theta - a_2 \sin \theta) + (a_1 \sin \theta + a_2 \cos \theta)i
\end{aligned}
$$
複數的作法讓人覺得有點彆扭，為什麼空間中一個軸代表幾何，另一個軸卻是虛數。
接下來介紹的幾何代數有更一致的空間表達方法，比複數表示法更為自然。
幾何代數
應該有不少人對幾何代數很陌生，在我們計算旋轉前，先簡單介紹基本組成要素，還有它們的運算規則和幾何性質。
基底
幾何代數中，所有幾何元素都會寫成基底的線性組合。在2D空間中有兩個軸X與Y，分別對應兩個基底。幾何代數在習慣上不會把基底取名為X、Y，而是$\textbf{e}_1$與$\textbf{e}_2$。因此向量$\textbf{a}$會寫成：
$$\textbf{a} = a_1\textbf{e}_1 + a_2\textbf{e}_2$$
內積
我們還需要關於角度的性質，給定兩向量$\textbf{u}$與$\textbf{v}$，彼此夾角為$\theta$，則兩向量內積為$\textbf{u} \cdot \textbf{v} = \lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert \cos \theta$
外積
兩向量$\textbf{u}$、$\textbf{v}$的外積展開如下：
$$\begin{aligned}
\textbf{u} \wedge \textbf{v} &= (u_1 \textbf{e}_1 + u_2 \textbf{e}_2) \wedge (v_1 \textbf{e}_1 + v_2 \textbf{e}_2) \\
&= u_1v_1\ \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_1 + u_1v_2 \ \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 + u_2v_1\ \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_1 + u_2v_2\ \textbf{e}_2 \wedge \textbf{e}_2 \\
&=(u_1v_2-u_2v_1)\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 \\
&= \det ([\textbf{u}\ \textbf{v}]) \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 \\
&= (\lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert \sin \theta) \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2
\end{aligned}$$
可觀察到$\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2$的係數會是$\textbf{u}$與$\textbf{v}$所形成的平行四邊形的面積，也會是以$\textbf{u}$、$\textbf{v}$為行向量的矩陣的行列式(determinant)。
在幾何代數中，cross product運算被視為對兩向量所形成之平面取正交補餘。由於幾何代數已經包含了cross product的概念，且可以用在所有維度上，因此不再需要cross product了。
幾何積(geometric product)
下面是基底向量的幾何積：
$$
\textbf{e}_1\textbf{e}_1 = \textbf{e}_1 \cdot \textbf{e}_1 + \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_1 = 1 + 0 = 1\\
\textbf{e}_1\textbf{e}_2 = \textbf{e}_1 \cdot \textbf{e}_2 + \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 = 0 + \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2 = \textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2
$$
有時數學文章中會省去$\textbf{e}_1 \wedge \textbf{e}_2$式子中的外積符號，索性當成幾何積寫成$\textbf{e}_1\textbf{e}_2$。有時會寫得更簡潔，把$\textbf{e}_1\textbf{e}_2$寫成$\textbf{e}_{12}$。內積符號也有可能省略，例如把$\textbf{e}_1 \cdot \textbf{e}_1$寫成$\textbf{e}_1 \textbf{e}_1$。
$n$維空間中，會把$n$個基底的外積(幾何積)記作$\textbf{I}_n = \textbf{e}_1 \textbf{e}_2 \dots \textbf{e}_{n-1}\textbf{e}_n$，以2D為例就是$\textbf{I}_2 = \textbf{e}_1\textbf{e}_2$。這個大寫$\textbf{I}_2$有一個性質和虛數的$i$相同，也就是$(\textbf{I}_2)^2 = \textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 = -\textbf{e}_1\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_2 = -(\textbf{e}_1\textbf{e}_1)(\textbf{e}_2\textbf{e}_2) = -1$。
綜合上述所有性質，我們可以得到向量$\textbf{u}$與$\textbf{v}$的幾何積：
$$
\begin{aligned}
\textbf{uv} &= (u_1\textbf{e}_1 + u_2\textbf{e}_2)(v_1\textbf{e}_1 + v_2\textbf{e}_2) \\
&= u_1v_1\textbf{e}_1\textbf{e}_1 + u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + u_2v_1 \textbf{e}_2\textbf{e}_1 + u_2v_2\textbf{e}_2\textbf{e}_2 \\
&= u_1v_1 + u_1v_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 - u_2v_1 \textbf{e}_1\textbf{e}_2 + u_2v_2\\
&= (u_1v_1 + u_2v_2) + (u_1v_2 - u_2v_1)\textbf{e}_1\textbf{e}_2\\
&= \textbf{u} \cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v} \\
&= \lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert \cos \theta + \lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert \sin \theta \textbf{I}_2 \\
&= \lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert (\cos \theta + \sin \theta \textbf{I}_2) \\
&= \lVert \textbf{u} \rVert \lVert \textbf{v} \rVert e^{\textbf{I}_2 \theta}
\end{aligned}
$$
可看到複數的旋轉其實包含在幾何代數內，不只如此，$\textbf{uv}$還能用來伸縮向量。但這裡先把$\textbf{u}$與$\textbf{v}$設定為單位向量，試試用來旋轉$\textbf{a}$向量：
$$
\begin{aligned}
\textbf{auv} &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(\cos \theta + \sin \theta \textbf{e}_1\textbf{e}_2) \\
&= a_1 \cos \theta \textbf{e}_1 + a_1 \sin \theta \textbf{e}_1\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + a_2 \cos \theta \textbf{e}_2 + a_2\sin \theta \textbf{e}_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 \\
&= a_1 \cos \theta \textbf{e}_1 + a_1 \sin \theta \textbf{e}_2 + a_2 \cos \theta \textbf{e}_2 - a_2\sin \theta \textbf{e}_1 \\
&= (a_1 \cos \theta - a_2\sin \theta)\textbf{e}_1 + (a_1 \sin \theta + a_2 \cos \theta) \textbf{e}_2 \\
\end{aligned}
$$
可見到即使不把向量改寫成複數形式，計算結果與複數和矩陣都相同。因為複數形式與幾何代數的表示方式差了一個$\textbf{e}_1$基底，若選擇$i$ = -$\textbf{I}_2$，向量除以$\textbf{e}_1$可得到複數，複數乘以$\textbf{e}_1$可還原成向量。雖然旋轉效果一樣，但複數形式少了一堆基底種類，基底可用來辨認幾何元素，缺少基底的複數就無法區分向量和旋轉運算子(operator)。
幾何代數會隨著基底數量與基底性質不同，而有不同數學性質，這裡示範的旋轉計算僅是2D的特例，不可直接套用在3D向量上(除非向量$\textbf{a}$位於$\textbf{u} \wedge \textbf{v}$平面上)。幾何代數有更泛用的旋轉公式，可以用在所有維度上，只是要注意它會旋轉兩倍的夾角。因此若要把向量$\textbf{a}$逆時針旋轉$\theta$度，必須將$\textbf{u}$、$\textbf{v}$之間的夾角設為$\frac{\theta}{2}$。泛用的旋轉公式把$\textbf{a}$夾在中間，寫成：$\textbf{(vu)a(uv)}$
由於幾何積沒有交換律性質，先計算$\textbf{vu}$：
$$
\begin{aligned}
\textbf{vu} &= \textbf{v} \cdot \textbf{u} + \textbf{v} \wedge \textbf{u} \\
&= \textbf{u} \cdot \textbf{v} - \textbf{u} \wedge \textbf{v} \\
&= \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2 \\
\end{aligned}
$$
把上式代入$\textbf{(vu)a(uv)}$後可得：
$$
\begin{aligned}
\textbf{vuauv} &= (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2) \\
&= (a_1 \cos \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1 - a_1 \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1 \textbf{e}_2 \textbf{e}_1 + a_2 \cos \frac{\theta}{2} \textbf{e}_2 - a_2 \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1 \textbf{e}_2 \textbf{e}_2) (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2) \\
&= (a_1 \cos \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1 + a_1 \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_2 + a_2 \cos \frac{\theta}{2} \textbf{e}_2 - a_2 \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1) (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2) \\
&= ((a_1 \cos \frac{\theta}{2} - a_2 \sin \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_1 + (a_1 \sin \frac{\theta}{2} + a_2 \cos \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_2) (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \textbf{e}_1\textbf{e}_2) \\
&= (a_1 \cos^2 \frac{\theta}{2} - a_2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_1
+ (a_1 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} + a_2 \cos^2 \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_2 \\
&+ (a_1 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} - a_2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_1\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + (a_1 \sin^2 \frac{\theta}{2} + a_2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})\textbf{e}_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 \\
&= (a_1 \cos^2 \frac{\theta}{2} - a_2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_1
+ (a_1 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} + a_2 \cos^2 \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_2 \\
&+ (a_1 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} - a_2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) \textbf{e}_2 - (a_1 \sin^2 \frac{\theta}{2} + a_2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})\textbf{e}_1 \\
&= (a_1 (\cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}) - a_2 (2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})) \textbf{e}_1
+ (a_1 (2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) + a_2(\cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2})) \textbf{e}_2\\
&= (a_1 \cos \theta - a_2\sin \theta)\textbf{e}_1 + (a_1 \sin \theta + a_2 \cos \theta) \textbf{e}_2 \\
\end{aligned}
$$
可以看到結果相同，遺憾的是計算量變多了。幾何代數在組合多個旋轉時，計算量會比矩陣少，但旋轉向量時計算量會輸給矩陣。實作時最好考慮你的應用是哪種運算較多，視情況可兩者都用，讓幾何代數來產生矩陣。
若你曾使用過四元數，應該會發現幾何代數的旋轉法和四元數非常像。但幾何代數在3D中作旋轉，不須把中間的向量改寫成四元數形式，可維持向量進向量出。下一篇介紹幾何代數的旋轉原理，解釋為什麼要把向量夾起來，還有四元數$i,\ j,\ k$等複數奇怪性質的由來。
