【工商時間】
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。前言。
上次更新這區是2017年上半年的事了，當初覺得這區的文章已告一段落。
這段期間（疫情爆發前）內本人仍有在打牌，時不時也會和我一名頗為要好的朋友探討牌理。
記得前一段時間，我和那名朋友討論到一個關於拆搭的問題，討論出之結果也算有共識。
但就在昨天晚上睡前，我有些失眠，思緒莫名其妙又閃出當時的那道題，
躺在床上做了一些心算後得到了一個有些神奇的結果，故決定在今天把這篇文撰寫出來。
一、拆搭案例介紹
猶記前些日子，時不時就會看到各種社群媒體上的麻將遊戲廣告，
其中有一則廣告的內容是這樣的：手牌「2 5 8 ......」三張該打哪一張？
而在我和朋友討論的當日，他則說他是在一名為「吳老師麻將心法」的Youtube頻道看到這道題。
不論是廣告給出的答案，抑或是該頻道對此情況作出的解釋都是一致的：「打掉 5 」。
他們給出的理由是：「2 5 8 捨出 5，接下來進 1 2 3 4 6 7 8 9 都可成搭。」
的確，如果此時捨出 2，能靠到搭的牌只剩下 3 4 5 6 7 8 9 七門，比捨去 5 少了一門。
但我與我摯友討論後，認為這種判斷方式其實並不嚴謹，可能存在錯誤。
在此我先公布答案：「打 2 或 8 更為正確」。
後文將對此進行詳細的分析與拆解。
【註】
本篇文章內容牽涉機率與期望值的計算，如有任何問題，歡迎隨時於留言區詢問。
倘若實在對於數學計算毫無興趣或不想理解，也不妨直接記住結論即可。
二、案例分析
首先我在此提一下，為什麼我們認為這種判斷方式有失嚴謹。
原因很簡單，在我先前的文章就曾提及過一個打牌極其重要的觀念：
「聽牌不是目的，而是胡牌的手段。」
單從可進之門數判斷聽牌的難易度，進而認定決策的好壞，是存在問題的。
講簡明一點，胡牌才是我們最終的目的，聽牌則是一個必經的過程。
胡牌前必須先聽牌，但聽牌後並不一定保證胡牌，對吧？
了解這個簡單的道理後，接下來我將會以「期望值」的觀念對此種牌型進行分析。
1. 期望值
【定義】
「試驗中每次可能的結果＊對應結果機率」的總和，常用以判斷決策好壞。
【Example】
設計一遊戲：投擲一枚公正的硬幣，投出正面得十元，投出反面虧十元，則
此遊戲之期望值 = (1/2)*10 + (1/2)*(-10) = 0。
2. 胡牌期望值
為本人根據期望值之觀念而設計，目的是為了以數學的方式比較決策之好壞。
各位可試想以下兩種手牌情境：
「A：容易聽牌，但聽了之後胡牌機率較低；
B：較不容易聽牌，但聽了之後胡牌機率較高。」
我們該如何判斷這兩種情況到底孰好孰壞呢？
胡牌期望值的概念便是為了解決這類情況而設計的。
我們可以更深入對以上情境做假設：
「A：聽牌機率 2/3，所聽之牌型為卡章（共四張）；
B：聽牌機率 3/7，所聽之牌型為雙頭（共八張）。」
A 情況之期望值 = 2/3 * 4 = 8/3；B 情況之期望值 = 3/7 * 8 = 24/7，
期望值（B）＞期望值（A），故在這兩種情境中，B 應優於 A。
眼尖的讀者應該發現了，即便 A 情況更容易聽牌，但期望值是低於 B 的，
這正可完全說明「胡牌才是最終目的」的觀念。
換句話說，打牌時，絕非僅僅依照「容易聽牌與否」來判斷決策的好壞。
3. 補充
後文對於期望值的計算，適當地簡化了一些不影響結果的過程（寫於條件假設），
因此所計算出之期望值僅具比較大小（判斷決策好壞）的意義。
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＊條件假設
1. 手牌：「2萬 5萬 8萬 東東」（處於一進聽的狀態）。
2. 捨牌後的進牌忽略筒子、條子及大字。
3. 海內（場上）無任何萬字牌及東風，不考慮他家之持有手牌。
4. 以上述條件計算「胡牌」的期望值。
情況（一）：打出 5 萬，可進 1 2 3 4 6 7 8 9 成搭聽牌。
不考慮其餘筒、條、大字，剩餘萬字牌數為33張（4*9 - 3，所有萬字牌數扣除手中之 2 5 8）。
摸進 1、9 可聽卡章，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張；
摸進 4、6 可聽中洞，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張；
摸進 2、8 可聽對對，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張，
摸進以上六門牌所聽牌章之剩餘牌數皆為 4 張，期望值計算如下：
摸進 3、7 可聽雙頭，所聽牌章之剩餘牌數為 8 張，
此兩門牌所聽牌章之剩餘牌數皆為 8 張，期望值計算如下：
由以上可得，捨出 5 萬所得之胡牌期望值為：88/33 + 64/33 = 152/33。
有細心的人可能會注意到，兩種情況之機率和不等於 1 ，原因很簡單，
因為有 3/33 的機率摸進先前捨出的 5，而摸進 5 無法構成聽牌，期望值計算結果為 0。
情況（二）：打出 2 萬，可進 3 4 5 6 7 8 9 成搭聽牌。
根據麻將數牌特性之
對稱性，在此僅討論捨出 2 萬之情形，結果將與捨出 8 萬相同。
不考慮其餘筒、條、大字，剩餘萬字牌數為33張（4*9 - 3，所有萬字牌數扣除手中之 2 5 8）。
摸進 3 可聽中洞，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張；
摸進 5、8 可聽對對，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張；
摸進 9 可聽卡章，所聽牌章之剩餘牌數為 4 張；
摸進以上四門牌所聽牌章之剩餘牌數皆為 4 張，期望值計算如下：
摸進 4、6、7 可聽雙頭，所聽牌章之剩餘牌數為 8 張，
摸進此三門牌所聽牌章之剩餘牌數皆為 8 張，期望值計算如下：
由以上可得，捨出 2（8）萬所得之胡牌期望值為：56/33 + 96/33 = 152/33。
三、結果分析
發現了嗎？在此類牌型下，不論捨出哪一章，所得之「胡牌期望值」是一樣的，
但這並不代表捨出 2 5 8 不存在任何差異，
以下我將逐步對此結果進行分析：
在條件假設的部分，我這裡先做一個簡單的解釋。
首先是第一點，我假設手牌握有 2 5 8 且是一進聽的狀況，其實不管是幾進聽，
算出的答案皆不影響結果（因為我們只是為了計算「摸進有效牌章的期望值」），
假設成一進聽只是為了方便解釋。
再來是第二點，我忽略了除了萬字以外的牌種，這其實也並不影響結果的解讀。
實際狀況中確實是會摸到其他牌種，但摸進那些非萬字牌種的牌章，並無法達成聽牌，
因此即便機率存在，但無法達成聽牌的條件，也就無法胡牌，因此在計算時結果會等於 0。
（機率Ｐ * 0 = 0）
因此，就算把其他牌種同時考慮進去，雖然計算出之數值會有所不同，但影響的只有分母，
且在兩種情形下所造成的影響是一樣的（分母等量放大），故不影響兩者期望值大小的比較。
而第三點，我不考慮外在環境（海內、他人手牌）的原因也很簡單，因為這不影響機率，
也就不影響期望值，這部分有基礎機率背景的讀者應該可以輕易理解。
條件假設的部分說明完畢後，接下來我打算談談這個結果在實戰面上的應用。
既然捨出 2 5 8 的期望值是一樣的，那我們在實戰上到底要打哪一章？
在不考慮海內的情況下（或是海內無相關資訊時），
根據我與我摯友之見解，我們認為打出 2、8 應優於打出 5 。
原因與麻將數牌特性中的「尖章」性質有關，所謂尖章，即是麻將數字牌 1~9 中，數字為 3、7 者，如三萬、七筒...等。
因麻將規則的關係，致使這類牌章在實戰中的運用價值更高，因此更不容易被捨出。
據此，我們可以做項簡易的分析：
（１）
假設我們今天在 2 5 8 中捨出了 5，
除了摸進 3、7 可聽雙頭以外，摸進其餘的牌都是聽單門（獨聽）或對對（張數皆為四張），
且單門所聽之牌章皆為尖章（3、7）。
且捨出 5 後，萬字牌中摸進 3、7 的機率為 8/33，而摸進其餘有效牌章的機率則是 22/33。
（數據的部分有在期望值計算那段作解釋）
換言之，捨出 5 後且聽牌的情況中，有 22/(8+22) = 22/30 的機率只聽四張牌，胡牌機率頗低，
只有 8/(8+22) = 8/30 的機率可聽胡牌機率較高之雙頭。
（２）
假設我們今天在 2 5 8 中捨出了 2，
此時摸進 3、5、8、9 分別可聽中洞、對對及卡章（只聽四張牌，卡章、中洞皆為聽尖章），
在萬字牌中摸進這些牌的機率為 14/33；
而摸進 4、6、7 則可聽胡牌機率較高之雙頭，在萬字牌中摸進這些牌的機率則為 12/33。
換言之，捨出 2 後且聽牌的情況中，有 14/(12+14) = 14/26 的機率只聽四張牌，
而有 12/(12+14) = 12/26 的機率可聽胡牌機率較高之雙頭。
由以上結果可清楚地發現，
捨出 5 後且聽牌的情況裡，只有 8/30 的機率能聽雙頭；
捨出 2 後且聽牌的情況裡，則有 12/26 的機率能聽雙頭。
而雖然兩種情況之胡牌期望值相同，但倘若我們將尖章的元素一併考慮，
我們會發現，捨出 2 後且聽牌的情況中，聽雙頭的比重明顯高於捨出 5 後且聽雙頭的比重。
換句話說，捨出 5 後且聽牌的聽牌情況組成裡，聽尖章之佔比是相對高的。
又因尖章本身之運用價值較高，相對之下取得之困難度（敵方捨出）便隨之增大，
因此即便兩種打法的胡牌期望值是相同的，但本模型中期望值的計算並未考慮尖章之性質，
故一併考慮後，我客觀地認為捨出 2（8）的合理性與實戰價值應大於捨出 5。
至於 2、8 又該如何選擇？根據對稱性，在其他所有條件相同的情況下，是沒有差別的。
但，再次強調，牌桌上是一個瞬息萬變的環境，以上分析皆未將海內的資訊合併考慮。
實戰時，無庸置疑的我們必須將海內之情形納入考量。
舉例來說，發現 7 萬被槓斷，我們正常就不會去聽 7 萬。
那假設今天 3 萬被碰斷，根據上述分析，2 5 8 打出 2 萬或許會是比較明智的決策。
此部分我就不多加著墨，有興趣的讀者可以往上理解一下我計算期望值的過程，
應該就能領悟我所說的意思。
四、結語
以上內容正是本人與友人討論後，對於「2 5 8 打哪章」的議題做出的解析。
這次的內容比較生硬，其中牽涉了一些機率與期望值的計算，我已盡我所能表達清楚。
對於內容（不論是計算過程或觀念）有任何疑問的讀者，都可以直接在下方留言區詢問，
我都會在第一時間內做完整的回覆。
老生常談一下，每次的牌局皆變化萬千，理論與觀念固然可以在牌桌上武裝自己，
但在牌桌上時刻保持警惕，仔細觀察每次牌局中的所有狀況亦是非常重要的一環。
最後，在此祝所有讀者與牌友都能在牌桌上無往不利。
（但疫情期間是禁止打牌的，防疫第一）
最後，希望這篇文章對你有幫助，感謝閱讀。
【工商時間】
麻將打膩了嗎？牌桌已無敵手的你有沒有想過換個遊戲？
如果你厭倦了下車防守後仍然不斷被自摸的窘境，但又仍對這種鬥智類的競技遊戲感興趣，
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