二十一世紀已經快過去五分之一，網路已經跟大家的生活密不可分。現在在這裡看著這篇文章的你，能夠和不久前寫好這篇文章的我相互交流，也是拜網路之賜。但是，在網路上傳播訊息，怎麼保障安全呢？更精確地來說：
(1) 我傳遞的訊息被人攔截了怎麼辦？會不會被偷聽？
(2) 我接到伍德的訊息了，但我怎麼知道那真的是伍德傳的訊息？訊息有沒有被其他人竄改？
這兩個問題可說是密碼學(Cryptography)的核心。從古羅馬時代的凱撒密碼、近世歐洲的共濟會密碼，人們為了防止機密外洩可說是費盡心思。隨著科技發展，訊息交流越來越頻繁密切，當今的密碼學已經是門混合數學和資訊工程的重要學問。各位或許從未聽聞，但你在網路上的一言一行已經通通離不開密碼學了。今天(和下一期)的伍德說數就來從數學方帶各位談談密碼學是怎麼回事*1。
一、奔騰於雲端之物
在網路上究竟怎麼傳播訊息的呢？是完完整整地傳送文字嗎？這個問題的答案，既是，也不是。訊息當然要完整傳送，不能遺漏；但是傳遞的形式被改成了數字。將文字和數字互換的方法被稱為「編碼」。
簡單的例子來說，要是愛麗絲(Alice)想傳遞「I love Bob」的訊息給鮑伯(Bob)*2，我們可以照著英文字母的順序將I換成9、L換成12、依此類推。當Bob收到一連串的數字後，他可以對照表反推出當初Alice傳了什麼訊息給他。嚴格來說這已經算是一種加密了，但由於規則過於明顯，難保中間不會有人(Oscar)搞鬼，將訊息竄改成「I hate Bob」。因此，我們需要將訊息打散成外人難以理解的形式，讓他們竊聽了也不懂意思，想竄改也沒辦法(只會竄改出無意義的文字)。
在羅馬時代，凱撒大帝(Caesar)就已經使用加密系統傳遞訊息。然而，他所適用的密碼非常簡單：把所有的英文字母往後推三位。例如將A推成D、B推成E。奧古斯都(August)則使用更簡單的方法：把所有字母往後推一位。將A推成B、...、將Z推成AA。這樣的作法在現今已經幾乎沒有安全性可言，但當時的識字率不高，凱薩密碼已經堪用。
一種攻擊英文密碼的方式被稱為「頻率攻擊」(Frequency Attack)。原理很簡單：26個英文字母出現的頻率不一樣。舉例來說，A、E、I、O、U五個母音出現的頻率就應該比Q、X、K等字母還要高。在密文中看到很多次的文字，就不太可能是Q、X、K變化而來。看到並排在一起的字母就可能是s、t等字母(Assess；Attack)。更甚者，只要有很長一段文章，我們就能計算文中的字母頻率來大致猜出替換的規則。
在現代，由於訊息已經被換成數字，數學家們就有工作機會了。透過利用數學設計系統化的加密、解密流程，各位在網路上所傳遞的消息才會有秘密的保障，不會被看個精光。英文轉化為數字的方式最知名的應該是ASCII碼*3。至於繁體中文轉換成數字的編碼，在幾十年前以Big-5為主，現在則是UTF-8等系統為主流(把ASCII碼也含在裡面了)。
本段的懶人包：所有的語言都能化為數字來傳遞，所以我們只要針對數字來設計加密和解密的方法就好。依照系統運作方式不同，大致可以分為「對稱式加密」和「非對稱式加密」兩種形式。兩者可以並存使用，並非水火不容。事實上，兩者各有優缺點，恰好能互補彼此。
二、對稱式加密(Symmetric Encryption)
在對稱式加密中，傳遞訊息的Alice和Bob共用同一把鑰匙(金鑰；Key)。操作流程如下：
(1) Alice寫好訊息，使用金鑰加密(Encryption)，把加密後的密文送出去。
(2) Bob收到密文，使用同一把金鑰解密(Decryption)，得到解密後的原訊息(明文)。
中間要是被Eve偷聽到訊息，她只會看到密文，沒辦法知道訊息內容。簡單好懂的方法，對吧？
對稱式加密依照操作方法可以再分為資料流加密(Stream Cipher)和資料塊加密(Block Cipher)。前者一次加密一格(一個Bit)、後者一次加密一個區塊(64Bit 或128 Bit)。想當然，後者總體而言速度比較快。也因此，目前使用的對稱式加密絕大多數都是資料塊加密。常見的標準有DES、AES(主流)。概念上可以把AES想成一台機器，把數字和金鑰丟進去就能產出密文。當然，金鑰不同，產出的秘文就不同。
說得好像很輕鬆，但對稱式加密是有盲點的。首先是鑰匙的傳遞問題。鑰匙一旦被第三方(Eve)知道，所有祕密就攤在陽光下了。因為加解密用的是同一把鑰匙，兩個人必須約定好用哪把鑰匙，因此必須傳輸訊息。但是，就是因為傳輸訊息時怕被偷聽，才需要加密──解決問題的手段，產生了問題本身。
一個解決的方式，是在線下或其他可信任的場所面對面約定好。但當然大多數狀況下不可行。現今解決傳遞問題的手段，大致是先使用非對稱式加密傳遞鑰匙，再使用這個鑰匙進行對稱式加密。你問為什麼要多此一舉？因為非對稱式加密比較慢。如果要傳遞的訊息量很大，還是對稱式加密有保障。
另一個問題是鑰匙數量龐雜。Alice和Bob必須用一把鑰匙；Alice和伍德想傳輸訊息也需要一把鑰匙(不想要讓Bob聽到)；伍德和Bob傳訊息也要一把(Alice別來偷聽)。三個人需要三把鑰匙，不算多。但要是一百個人，就必須要100*99/2=4950把鑰匙。現在想想你每天要跟多少人交換訊息？需要多少鑰匙呀？
非對稱式加密就很漂亮地解決了上述兩個問題(但犧牲了效率)，同樣是一百人，非對稱式加密只需要200把。怎麼做到的？我們繼續看下去。
三、非對稱式加密(Asymmetric Encryption)
在非對稱式加密中，Alice和Bob各自有兩把鑰匙(總共4把；但等等我們會看到，只有兩把會用到)。其中一把用來上鎖，所有人(包含偷聽的Eve)都知道，稱作公鑰(Public Key)。另一把用來解鎖，只有各自的主人知道，稱為私鑰(Private Key)。假設Alice想傳訊息給Bob，操作流程如下：
(1) Alice取得Bob的公鑰，寫好訊息後使用Bob的公鑰加密，得到密文。(你也能想成使用Bob專用的鎖頭上鎖)
(2) Bob取得密文，使用Bob的私鑰解密，得到原先訊息(明文)。(使用Bob的專用鑰匙開鎖)
簡單來說，我們只需要收件者(Bob)的兩把鑰匙。中間訊息要是被Eve攔截也沒關係，因為就算她有Bob的公鑰，沒有Bob的私鑰，她是沒辦法解讀訊息的。
(同理，你能不能說出Bob想傳訊息給Alice的時候該怎麼做呢？)
非對稱式加密的數學關鍵是，要找到類似「單行道」的問題。一個例子是質因數分解。大家都能簡單分解21=3*7吧(除非你不管三七二十一啦...)？但是分解10403=101*103就不是那麼容易了。利用質因數分解設計出的非對稱式加密，稱為RSA加密法(三位教授的名字；我們下次細談)。其他常見的還有使用離散對數問題或橢圓曲線的加密法，後兩者我們不談，但值得注意的是橢圓曲線越來越受歡迎。
回過頭來，上面提到對稱式加密的問題，被好好解決了嗎？首先關於鑰匙的傳遞，我們依舊需要傳遞公鑰，但安全問題不大，因為公鑰不怕人知道。相對地，重要的私鑰一直被自己收著，不需要傳送。這裡延伸出另一個問題：公鑰大家都知道，那當Bob收到一封上了Bob公鑰的文件，怎麼知道是Alice傳的，而不是Oscar假造的？這裡我們需要Alice在傳遞訊息時，對她的訊息「簽名負責」。專業術語稱為「數位簽章」(Digital Signature)。今天已經談很多了，關於數位簽章我們就同樣下次談。
此外，關於鑰匙數量的問題。在非對稱式加密中，每個人只需要握有兩把鑰匙：公鑰和私鑰。今天Alice想傳訊息給Bob，使用Bob的公鑰就好；伍德也想傳訊息給Bob，同樣使用Bob的公鑰，不需要其他鑰匙。人數一多，非對稱式加密的優勢就越來越明顯。
四、比較與小結
在網路時代傳遞訊息，基本上都要先將訊息轉化為數字，再對數字做加密和解密。現今兩大類系統分別稱為「對稱式加密」和「非對稱式加密」。對稱式加密速度快、效率好，但必須解決鑰匙的傳遞問題，人數一多，管理鑰匙也相對不易。相對地，非對稱式加密解決了上述的問題，但犧牲了效率。實務上常常兩者並用。
在下一次專欄，我們會談非對稱式密碼最重要的例子之一：RSA加密法。另一方面，文章一開始的問題我們只回答了第一題。關於第二題，怎麼驗證傳訊者的身分，需要的是上面也提過的「數位簽章」。它的操作方式我們也留待下次再聊。
那麼我是伍德‧瓦懷特，我們下期「伍德說數」專欄再見！
*1. 相對地，資工不是伍德的專長，所以要是有錯請指正我。
*2. 在密碼學文獻中，Alice和Bob常用來指傳遞訊息的兩方。中間的竊聽者則是Eve；更甚者，會竄改訊息的攻擊者則是Oscar。
*3. 拙作《Math Server》就用過ASCII碼設計將凱撒密碼變形的謎題。
創作內容
機密注意！伍德的密碼學時間 (1)
魔都妖探 (1)
