20:10開始實況
22:04左右結束實況
明天是否繼續寫這篇看情形而定
(預估實況內容是先寫費米問題,因為費米問題比較適合先聲奪人!!)
嗯,結果好像今日開始恢復正常上班
(也可能是最近幾天每天派去支援災區的行政區不同,總之沒聽到更進一步的消息)
知乎問題:數學的魅力是什麼
由於有些累
主要是回來後再寫
1*1 = 1
2*2 = 4
(1+1+1)*(1+1) = 6
(1+1+1)*(1+1-1) = 3
13*17= (13*10) + (13*7) = (13*10) + (10*7) + (3*7) = (13+7)*10 + 3*7 = 221
(↑印度速算)
23*17 = 13*17 + 10*17 = 391 = (20+3)(20-3) = 400-9 = 391
7 * 5 = (轉2進制,下午放工後再處理)
= 111*101 = 111*100 + 111*001 = 11100 + 111 = 100011 = 35
(這技巧在編譯器沒優化時會很常用到
換句話說就是在晶片沒有很好的硬體上,要手動優化程式時會用到
為何要這樣改寫?
因為可以用left-shift,左移一位指定取代掉乘法運算
極為早期電腦的硬體或說晶片是否支援浮點運算是個重要特徵)
與代數幾何(這邊自然會提到幾何原本與克拉克大學)
也就是說
上述只是因為此草稿午休因素
不然除去代數形式
應該還要配圖(幾何形式)來說
籌算法(Napier's bones) 跟 對數創始者
上述第一階段大概能作答完畢
(當然還要補充很多文字敘述)
剩下來的草稿
下工後再回來處理
先去午休了
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呀,費米問題切入還是挺難的
首先這題的
關注者有1174(以後大概只會更多)
然後被瀏覽次數是89347(通常也只會更多)
嗯...
還是晚些(明天或下次放假)再處理好了
我先想下我這題主要要回答什麼
「我想數學的魅力在於:
數學─是個所需參與玩家最少的遊戲
在只有一個人的狀況下
它所能發揮的威力是最大的
而數學的缺陷在於
其瓶頸也大多展現在自己的極限~
以下是自身立論的依據或者說是推演過程:
首先:
數學的強國有哪些?
這可能不太好想
但大家可能會腦海中閃過一個想法
我們似乎很難說有個國家是真的不會數學的
也許在些不被了解的國度中
祂們的數學用很奇怪的形式呈現
也就是說一個國家的數學能力
是由交流來展現的
可是數學本身是不分國界、語言、文字的
數學的進展主要是受限於交流方式與理解成本
--這也是費布納西的貢獻
--引入的阿拉伯數字到歐洲並推廣與普及
--(雖然其實阿拉伯本身的數字系統不是用1234567890表示)
標--的代表回答中可能會省掉
因為這類行文方式
讀者的思維很容易被作者的思維跳躍給混亂掉
但每個人多少可以藉由數學領略到種思考方式
若過往不曾有過這種體會的話~
我就先試著拋磚引玉下
有個說法是
數學不等同於算數
有了計算機之後
我們不太需要掌握計算技巧
唔,可是啊
計算技巧是很困難的東西嗎?
近代中國的數學或者說是國民普遍的特色是
背 九九乘法表
唔,為何要背九九乘法表呢?
"可能是"因為近代中國採用的數字系統是阿拉伯數字
也就是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
十進制的
例如我們要算 24*17
先假設我們不會算這個
要是我們會九九乘法表的話
4*7 = 7*4 = 28
這個是我們所擁有的已知資訊
個位數的乘法在九九乘法表與十進制阿拉伯數字底下
可能性是全部都被列舉出來的(好啦,嚴格上來說九九乘法表沒有背乘0的部份)
那... 10是什麼呢?
10的乘法要怎麼處理?
在十進位阿拉伯數字底下
10 = 9 + 1
所以試著列下 十十乘法表新增的部份吧
10 * 1 = (9 + 1) * 1
嚴格上來講這個我們是不會算的
但後來我們學到的說法是
10 * 1 = 10
(↑這邊牽涉到乘法單位元素,以後在抽象代數或者是比較不同的運算系統時重要性才會彰顯出來)
所以 (9 + 1) * 1 正巧等同 9*1 + 1*1 = 9 + 1 = 10
那 10 * 2 = (9+1) * 2 = 9*2 + 1*2 = 18 + 2 = 20
所以...
多出來的部份列完後
我們會發現,十位數字其實也符合九九乘法表
現在再回來看 24 * 17
24 * 17 = (20+4) * (10+7) = 20*10 + 20*7 + 4*10 + 4*7 = 200 + 140 + 40 + 28 = 408
雖然其實藉由之前所學
24*17能得出答案其實是有些問題在的,但這邊就先含糊帶過吧
因為...其實我小時候數學這邊也是含糊帶過的
(準確來說應該要先說乘法可視為連續的加法)
但藉由前述的運算
我們基本上針對正整數兩位數的乘法已經找不到對手了
「呀,無敵真是寂寞」
多數人可能會止步於此
我們有機會把這個做得更好嗎?
有江湖謠言,在遙遠的西南方,有個國度,現在叫做India(印度)
印度是背 二十二十乘法表還是十九十九乘法表
總之就是多背了些
假若我們要背到十九十九乘法表
什麼時候背十九十九乘法表是有意義的?
稍微列一下多出來的數字吧
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
可以改寫成
9+1 9+2 9+3 9+4 ...
也可以寫成
10 10+1 10+2 ... 10+9
所以我們似乎會發現個特性
在19*19乘法表中
十位數字只有兩種可能性 0與1
那這特性能有什麼用途呢?
稍微試下看看吧
13*17 = (10+3) * (10+7) = 10*10 + 10*7 + 3*10 + 3*7 = 100 + 70 +30 + 21
等等
100 + 70 + 30 都是以0結尾
這是巧合嗎?
這三個數字分別是由 10*10 + 10*7 + 3*10 而來
所以 其實可以寫成 10* 10+7+3 = 10*20 = 200
也就是說,似乎在十位數字是固定的狀況下
都可以用這技巧
只是若是 24*27的話
要這麼寫 24*27 = (20+4) * (20+7) = (20+4+7)*20 + 7*4 = 648
那現在再試著回來算
24*17 吧
表面上十位數字是不相同
沒辦法靠那方法解決
這點我不否認
但我們可以改寫下式子吧?
24*17 = 24*27 - 24*10 = 648 - 240 = 408
24*27剛才算過
而24*10等於240
當然以此來看
我們也可以寫成
24*17 = 14*17 + 17*10 = (14+7)*10 + 4*7 + 170 = 210 + 28 + 170 = 408
如果以後學到新的乘法公式
(a+b)*(a-b) = a² - b²
我們還可以把24*17 改寫成 23*17 + 1*17 = (20+3)*(20-3) + 17 = 400 - 9 + 17 = 408
只是從九九乘法表多背到十九十九或二十二十乘法表
我們對於兩位數字的乘法運算
感覺上速度快上許多
相比之前更游刃有餘,與對數字的體會更深些
萬袑衽(小說─《離心力》人物):我完全沒感覺
吳鶴以(小說─《離心力》人物):同感,學長鬼扯的能力唯有在此層面能如此躍進
吳鶴以:雖然其實我一直以來都是那麼算的
...,好吧,有天你會懂的,希望那天會是今天
反正不管哪天來重看這篇回答,今天就是今天!!
嗯,害我忘記要講什麼
啊,沒怪罪的意思,不過...總之,讓我們跳下個主題
夏再嚇:進廣告吧你
哦,我們回想下為何式子稍微改寫下
好像運算速度能大幅提升
唔,好像在數字是0的時候,乘法會特別簡單
而在十進位阿拉伯數字時
任意數字乘十,只要再後面補個0就能完成運算
所以要速算,最好想辦法把各運算數字想辦法往10這邊靠
假若要練三位數乘法,也許也能用類似思路,盡量往100上去靠
但現在我想切個主題
7 * 5 = 35
這沒問題
現在想討論的是二進制的狀況
7 = 1 + 2 + 4 = 111₂
5 = 1 + 4 = 101₂
所以可以寫成
111₂ * 101₂ = 35 = 1 + 2 + 32 = 100011₂
這是已知答案的狀況下
其實我們可以用類似的原理或說操作
來計算下 111₂ * 101₂
(這邊我們暫且不管電腦幾位元底下的正負號的表示法之差異,先僅就二進位而言)
111₂ * 101₂
= 111₂ * 100₂ + 111₂ * 001₂
= 11100₂ + 111₂
= 100011₂
其實在補0的狀況下
是根據進制來決定的
上述這運算有什麼好處?
乘法運算就算不支援浮點數運算
其開銷也是相較於移位與加法高的
可參考乘法器的電路部份
與shift的IC 像是 74LS164 也就是 8位元的shift暫存器
(其實我幾乎不曾用過這顆IC,不是很熟悉)
看規格的話
時脈是採正緣觸發或者說是 rising edge ,也就是 ↑ , 低電位變高電位時才觸動這樣
然後八個輸出分別是 移一位到移八位
不過...這是左移還是右移,似乎取決於其它的電路設計
嗯,有時學過的東西會在奇怪的地方發揮作用
附帶一提,其實上述我列的那些
在我寫知乎回答以外
還沒發揮過其它作用
那6/5就先寫到這邊
最後附帶一提:
印度之所以採取19*19或20*20乘法表
我想主要原因是
印度過往因為地理分隔與多族群
其實官方語言比起Hindi,用英文更能互通
這點可在寶萊塢電影─《三個傻瓜》中
學霸背演講稿那段略知一二
與整部電影有時聽得懂話有時聽不懂話的奇怪現象得到些體驗
夏知饋:只用一部電影來得出結論...這不是急遽歸納(驟下結論)嗎?
嗯,因為印度的電影我基本上也只看過那個,原諒我
總之
英文好像20以後相對有規律些
理論上應該要背到60*60乘法表
但為何不那麼背?
其實我也不知道
只是若多背到19*19乘法表
搭配乘法公式的話
兩位數字的相乘似乎我有些不知道該如何突破才能再精進運算速度了!!
然後,寫到這邊
這篇其實只算是個開端
數學的大分類可簡單分為
1.代數
2.幾何
3.解析(代表是微積分,可想成代數與幾何的綜合)
像乘法公式在幾何原本的第二卷(Volume II)中
就有用代數幾何的方式表現出來
(幾何原本其實談的很多內容都不單純只是幾何
而是種用幾何解釋數學世界的方式)
不過...代數幾何好像是歸在幾何而非解析吶!!
而幾何原本的特徵或者說是信仰
就是公理化系統
嗯
那為何不講呢?
因為這方面我也很弱嘛
此外還想談下費米問題或說費米估算(Fermi estimate)
數學可以只在一人的狀況下完成
但若不交流確實是有些不具說服力
只是現代因為計算機的發達
大可以寫出梅森質數旋轉法、卡馬克快速開根法
代碼寫得飄逸些
變數與常數宣告不區分,或者是直接使用魔術數字不另外宣告成常數,亂數名稱也隨意取取
再讓後人去猜測、揣摩其意思與原理
也不失為個獲取名聲的好方法!!
有機會的話,會逐步更新
不過也許這篇又會跟上次談中國的數學教育的缺陷那問題一樣無疾而終
(畢竟數學也不算是我的強項
且若連續幾天想同個問題沒進展
我會想跳別的主題!!)
2017/06/05 (GMT +8:00) 21:52 就寫到這邊
重申一次好了
我想數學的魅力在於
數學─是個所需參與玩家最少的遊戲
在只有一個人的狀況下
它所能發揮的威力是最大的
換句話說
數學所使用到的東西
很可能也是一個人有著一定程度了解的
與手邊所能取得到的計算工具與素材或說數據(代表像是Fermi estimate)
也就是說
自身所了解的東西越多
其武器、素材越多!!
也許這正是過往畢達格拉斯會以數學作為宗教的原因吧!!
(雖然根據無理數的軼聞
無理數,也就是不能寫成分數、小數與有限連分數的數字類型
代表像是√2這樣
畢達格拉斯的數學宗教是邪教啊
只是...我自己是否是個邪教我也不太清楚
也許是,也許不是
但我想比較會有個可能性是
「 在別人的故事裡我被遺忘 」)
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創作內容
6/5,今天預計專心寫知乎回答─數學的魅力是什麼,產出第一版回答(實況結束)
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