十七世紀末，我們可以由微分的方法來求出某函數在某區間的極值（極大或極小），但要如何求出一個函數積分的最小值呢？
在十七世紀末，由有名的數學家族－Bernoulli白努力家族－中的Johann Bernoulli提出了一個問題：「在空間中給定任意兩點A, B，A點位置較高，則從A點放一個質點下滑到B點，不計摩擦力的影響，則從A到B所花費之時間最少的軌跡為何？」
當時只有四位數學家解決此問題：牛頓、萊布尼茲、羅畢達以及Jacob Bernoulli（
Johann Bernoulli的哥哥），而Johann Bernoulli自己找出來的結果是錯的。牛頓雖然發明的微積分，但是卻是運用幾何證明來解決此問題，在《自然哲學與數學原理中》有提到。這個問題早期伽利略得到的結果為一拋物線，之後我們可以找到一條軌跡所花費的時間比拋物線軌跡還要短。
此問題即是要求∫f(y,y';x)dx 的極小值，其中 y'=dy/dx、y=y(x)。在此我們加入一個新的變數α使得 y(α,x)。當α=0 時 y(0,x) = 0，所以將 y(α,x) 改寫成
y(α,x) = y(0,x) + αη(x)
η(x)會在端點消失，即η(A)=η(B)=0，且一次為分為連續函數，所以原始的積分可寫成
∫f(y(α,x),y'(α,x);x)dx
所以 ∂J(α)| ∂J(α)
-------| = ------ ∫f(y(α,x),y'(α,x);x)dx
∂α |α=0 ∂α
即可求出此函數的極值。經由 Euler 的修改，利用分布積分，可得到一個新的Euler eq.
（∂f） （d ∂f）
（-- ） - （-- --- ）= 0
（∂y） （dx ∂y'）
心得：由於變分學的發展，我們可以將此方法放到物理上面使用，即為「最小作用量原理」：每個物體會遵循花最少能量的地方走。從國中學到的電路並聯的電流到大學學到的測地線，都遵循著此原理來運作。後來Lagrange將此推廣到物理上面，使得物理問題不需要再去分析力的方向，而直接從動能及位能就可以求出物體運動的軌跡，非常方便。
參考文獻：
[1] Classical Dynamics of Particles and Systems [Stephen T. Thornton, JerryB. Marion] 5ed
[2]變分法上的最速降線之研究
創作內容
變分學的歷史
物理 (46)