達人專欄 霧島簡評111學測數學A
上周（1/21)，一年一度的學測數學（學科能力測驗數學科）終於又來了！
這次是108課綱上路以來的第一屆學測，數學科也分成數學A和數學B，會怎麼出，沒有人知道，而作為108課綱首次的學測數學，可說是有相當的指標性，在新課綱的調整之下，可說是備受關注。
考完沒意外的又掀起討論，「史上最難」之論調又來了，這點還真的跟我在去年試辦考試的文章所預言的差不多…
去年的文章：霧島簡評 新型學測試辦考試數學A & 數學B
『雖然這是試辦考試只是參考用，但我想如果明年就真的這樣考，肯定會引起不小的話題，先猜標題：「108新課綱，學測數學A超難！」 之類的吧...』
許多人（不管是新聞媒體、補教業的名師、學生等）都說本次111年度的學測數學A是『史上最難』、『缺乏鑑別度！偏離108課綱精神！』...
那到底是多難呢？真的有那麼誇張嗎？
我認為還是該好好審視，好好欣賞題目才是，數學可不是用難跟簡單來概括的，其中的細節與數學的美、以及為何而難？這些才是該好好思考的。
本人非專業人士，有問題都可以說，有更好的解法歡迎提出。而本文只討論數學A。
文中有些「衍生思考」為個人覺得可以多想想的部分，有些可以當作複習其他觀念，或是假想如果真的這樣考呢？再說數學可不是只有解題，也不是考完就沒事了，如何真正應用以及體會數學之美更是重要。
歡迎光臨！就讓我們好好欣賞數學吧！
題目在這，點開來看看吧
第壹部分：選擇題
一、單選題
(4)
冰淇淋多少種口味？最多人討論的第一題，其實非常簡單，多少人就是沒看到，或是把重複口味也算再一開始的門檻，被稱為小陷阱的第一題，敘述的方式確實讓人有所誤解…
撇開敘述與文意理解不談，算基本題。
(1)
單純對數計算的題目，列式計算即可，感覺大概是想配合108課綱的計算機教學，才這樣出，但其實有無計算機對這題的認知都沒差，算基本題，選項也沒有陷阱。
(5) 很特別的一題，考了不少觀念
要讓投影後的數據之變異數最小，變異數代表的是數據的離散程度，要最小代表數據之間必須最靠近。那麼就簡單了，這些數據分佈明顯趨於一直線(y=2x)，如果將這些數據投影到垂直於這直線的直線，不就是數據最靠近的情況。所以選擇垂直於「直線y=2x」的直線。根據兩垂直線斜率相乘為-1，選擇(5)
個人覺得這份考題中頗漂亮的一題，結合了二維數據、變異數、直線方程式、兩直線垂直斜率相乘為-1 等觀念 ，沒用到什麼特別的技巧，但卻結合了許多觀念，實為好題。不太會可能就代表這幾個觀念其中幾個不太熟。
(3)
對數與數列一起出的一題，其實就是考等差數列、對數律的性質以及代數計算
有點小計算，屬於中間的一題。
(2)
畫個樹狀圖分析一下，這邊用顏色區分，紅色代表真正的染病者，黑色代表被誤判的染病者
敘述長，需要好好理解，考條件機率、貝氏定裡的一題，屬中間。
(我相信平常段考、模考絕對有做過類似、甚至更難的都有...
(5)
甚至可以用軟體畫出來：藍紫為題目的兩直線，紅色為角平分線、綠色為所求之直線
應該算是單選最難的一題吧，屬難，坦白說出得蠻漂亮的。將直線方程式、斜率、角平分線、初等幾何觀念綜合在這一題，發現兩直線垂直那邊真的有漂亮之感。
衍生思考：上圖的藍色與紫色直線方程式如何求得？ (也就是求題目的L1,L2直線)
單選看下來其實還好，除了第三可以直接用觀念判斷的以外，每一題都有計算成分在，又以第5機率那題計算量最大，其中第6最為特別，第3、6出得漂亮。這兩題說是經典都沒問題。
二、多選題 (7~12)
(2) (4)
難度中間，絕對值不等式的一題，這題就很數學了，每個敘述都很正常直接，沒有任何的隱藏
較難的選項為(2)
沒什麼包裝，很單純的題目，基本上就是考三角的各種重要觀念；正弦定理、餘弦定理等，算中規中矩的一題，有點小計算，難度中間，若跟同樣三角相關的多選題來比，去年110學測數學的多選10比起來真的是簡單。
(3)(4)
個人覺得偏難，畢竟考蠻多向量觀念的，也都是以未知數表示，需要考慮的不少，可用這題來複習向量，很多觀念，讚。
(1)(2)
選項(5)的衍生思考：
(1)試求這條近似直線的方程式
(2)學完微積分的你，用微分的方式做做看吧
108課綱首次加入的三次多項式函數終於來了！
首次考新加入的三次函數，不是基本題，而是這類過往學測也會出現的多項式函數多選題型。有點狠，況且考的點也不少，三次函數的圖形、根的判斷、對稱中心、近似直線、綜合除法等觀念都有考到，要完全做對還真的不簡單。
(3)(4)(5)這幾個選項應該蠻多人會錯的，尤其選項(5)考很細，此題大概會成為往後的經典題，可以想像得到未來的書中必定會有這題考古題，還有完整解完會發現此題出的非常漂亮。
(2)(3)(4)
考空間概念、三角比，基本上觀念不難，可能就(3)(4)(5)的驗證上較煩而已，但屬於中間偏易，肯算就有分。
(1)(2)
考多項式函數、多項式不等式，這題真的難，不好想，要好好分析，真的是很不簡單，討論完各個多項式的次數後，還必須考慮頂點，很多人可能就卡在這裡了…
我認為整張考卷最難的就是這題無誤。而且又難又漂亮！
衍生思考：不妨想想看y=f(x)的圖形與x軸交1,2,3,4點的情況時，此時y=g(x)圖形頂點分別又會有什麼變化？請討論。
這或許值得想想。
多選，整體而言較難。其中以9 ,10,12為難題。10,12兩題多項式函數的最難，出得也非常的厲害，可感受到出題者素養之高啊，竟然能靠這樣少少的條件，推展出這麼多的變化。漂亮！
其餘還好，但也不算太簡單，至少沒有看過去就知道答案的送分題，都要花時間思考、算一下。
三、選填題(13~17)
4.2
果然出了期望值，這也是108課綱新加入的，以前是選修數學的部分，要注意此題再算的是期望值，而非機率。以過去期望值的題目來說，此題顯得蠻單純的。
衍生思考：想一下自己愛玩的遊戲抽卡的期望值怎麼算。
考有無了解高斯消去法、增廣矩陣，都了解其實就是純計算的一題，歸類在簡單
192
解完高再代回即可求解，自己算吧
說實在這題就在考文意理解，和轉化為數學式子了，放在國中數學其實也可以的，考量到文意理解，個人覺得屬中間偏易，沒有這樣包裝就是屬於簡單，算是我覺得這張最無聊的一題…
(扯上徵收、協商...是要談居住正義？跟公民科跨領域嗎？)
藉由直線在平面的投影，衍生出兩平面垂直的想法，包裝的不錯，算出得漂亮的一題。屬中間偏難吧。
出得很棒，將平行六面體體積公式、距離公式、柯西不等式做結合，非常有想法，柯西不等式終於考了(印象近年來學測都沒考柯西不等式)
非常漂亮，絕對是經典好題。屬於又漂亮又難的一題。
感覺很多人不是忘了平行六面體體積不然就是柯西不等式了...
衍生思考：平行六面體體積有最大值時，此時點D(x,y,0) 在哪裡？
這也要會算才對喔。除了會求極值，而在哪裡發生極值，也是很重要的！
選填這五題整體而言都屬中間，最有意思的是16,17，兩者都出得很棒，16繞個彎、換個方式問，17將不同觀念結合起來，展現數學之美與之應用。
第貳部分、混合題或非選擇題
有趣的掃描棒，看下來或許會覺得題目敘述又臭又長，就不想算了，但其實好好看，根本沒什麼，願意做願意寫就有分，但多數考生可能被前面的題目磨光耐心跟鬥志了…
甚至這題將敘述改一下，(去掉圓方程式、極座標等)，就可以變成國中的考題。對比試辦考試的混合題(考矩陣、線性變換)或是過往指考數甲的手寫題，這題真的不難，甚至是簡單了。
衍生思考：終點若不是B'(-2.0) 而是其他點的話，如何算其掃過的面積？
完
總結：
確實是不簡單，考得非常靈活，在考場當下的學生們更是感到壓力與緊張，容易出錯與粗心都是在所難免，更別說在每題都貴的情況下，多錯一題就差了5分，差距是很大的，但，到底有多難？這就有點因人而異了。
實際上分析看來，也非如此困難就是了，並非每一題都很難，簡單正常的題目依然存在，而且也佔多數，平時做過的題目也有，就那幾題比較難而已，說是『史上最難』是有點超過了。當然可以說是108課綱以來的最難...(但同時也可以說是最簡單XD 畢竟現在這個集合只有一元素)，說實在，這也沒用到什麼艱深的解題技巧，哪一題的觀念真的有超出課綱？但卻考得很活，真的很靈活，出題與敘述的方式，還有問的點，明明許多題都是平常會算的基本題，但為何這樣包裝就無法順利做對了？這該好好想想。
一旦出了就是個標的，一定會被拿來參考與比較的。可能出題者認為學生已有能力面對這樣的考題，也或許這就是要告訴我們，往後的學測數學A就是要這樣考，不是光練題目、題型就好，更重要的是融會貫通與活用知識，整體風格確實有點像110學測數學、去年的試辦學測數學A，同樣都「相當考驗學生扎實的數學觀念。懂與不懂、會與不會分得一清二楚，對前段學生的鑑別度蠻高的，當然中後段的學生可能就死一片了」
當然還是很多人批判難度，我得說既然都分數學A ,B了，數學A考難我覺得可以，但細節可以再討論。可以在調整。或許大家更該想想：「怎樣的學測數學A考卷，才是理想的？」
值得反思的是：難道像過去聯考的題目就比較好？幾乎每一題都是數學式的敘述，不用應用題包裝，不跟你拐彎抹角，難道就是更好的考卷？而學生就更能夠考好？(未來我或許挖幾題過去的精采好題來分享)
不過我是覺得去年的110學測數學更難就是了，有興趣可以看看之前發的文：
我認為，用一張考卷就認定學生的數學能力也是有所偏頗，也或許在現行考試制度下就難以鑑別吧。時間因素、分數的分配、多選題的計分方式，如果制度改變呢？是否更能夠檢測出大家的數學能力？
所以考不好也別太介意，表現不好不代表數學不好，數學不好不代表就要放棄數學，不要放棄數學，數學不會背叛你，數學之路永無止境。
然而說好的計算機教學，真的有多少在做？學測都不考，很多學校老師是當然不教的，結果出了單選2有點硬要套入計算機的題目，(但有無計算機都沒差) 很不夠意思...
108數學課綱的理念之一：「數學教學應培養學生正確使用工具的素養」 其中也有計算機
既然素養強調生活經驗，而我們日常生活經驗難道少得了計算與資訊工具嗎？如果不能，素養的教學就應該使用工具，既然素養強調在未來生活中解決實際問題，未來的日子難道不用計算機來解決問題嗎？既然不能，那麼素養的教學就應該使用工具。而課本有許多要用計算機的例子，大考也該開放使用。當然勢必會有許多風波，可是這樣才更接近108數學課綱的理念才對。
批判完，來欣賞一下...
老實說，我覺得這次的題目也很精彩，像是單選3、6，多選10、12，選填17，單選3將二維數據與直線方程式做結合，而多選10、12的多項式函數真的讓我難忘，同樣是多項式函數的去年110多選13，當時考了「勘根定理、虛根成對、有理根判別」等觀念，然而108課綱多了三次多項式，這次也相應出了漂亮的多選10，還有多選12將多項式函數、多項式不等式昇華到另一層次。實在厲害，果然過去的題目功成身退，而新的環境也會有新的光芒與風采。還有選填17，將好久不見的柯西不等式重出江湖且與平行六面體做結合，這彷彿就是告訴人們：「柯西不等式是很重要而且有用的！」 相當感動。
完整寫完也會發現，這幾題真的出得太漂亮了！這些都是美麗的數學！我充分感受到數學之美，讚嘆這些題目之漂亮，不禁佩服背後出題者的數學素養之高啊。我還是很期待未來的分科測驗以及未來的學測數學A。
加油吧！每日都要學習數學！也必須欣賞數學之美，而非受媒體起舞，被「史上最難」之標題所煽動，我是很不以為意的，數學又不是只有難與簡單，這張考卷有多少的細節與巧思都值得好好討論。其中有多少數學定理的應用之漂亮，怎麼不好好欣賞呢？學數學就是要理性思考、講求證據與理性，不應該因為報導說是怎樣就相信是怎樣，靠自己的力量去判斷，靠自己去思考吧！
最後感謝你的閱讀。
拖了很久才打好，畢竟有時蠻忙的，又再想是否有更好的做法跟想法，就拖了過一周才發文...
也改成用打好再截圖的方式發，之前慢慢截圖太累了
在打的過程真的感受到滿滿的數學之美XD
勉勵自己至少每個月生一篇數學文，(至少有點料的那種，可以掛達人專欄的)
有什麼問題都歡迎指教。有什麼意見都說，有誤的地方請大聲斥責。還請多多關照。
希望對社會大眾能有點幫助；想要數學更強的人、喜歡數學的人、學不好數學的人、對學校中的數學沒興趣的人、覺得數學沒用的人、覺得數學無聊的人... 都可看看。
數學是很有趣的。數學是很偉大的！數學就是純粹的美！
