[達人專欄] 把函數畫成圖形，讓它變得有意義

　　上次我們提到了何謂函數，以及如何定義函數。實際上，如果我們僅僅是把函數化成代數來操作，那對於需要使用函數的人來說，還是很抽象、不易於理解（更不用說向人解釋）的：

　　「如果我想知道函數的值如何變化，我該怎麼做？」
　　「如果我只是想知道函數的值會大概落在哪裡，我該怎麼做？」
　　「如果我想知道函數有沒有可能到達某處，我該怎麼做？」

　　這種問題，我們可以試著把函數畫成圖形，透過視覺化的方式來解決。不過在這之前，不免還是要從基礎講起。


。數線

　　我們在日常生活中可以接觸到、可以被理解的概念，稱作「實數（real number）」，一般用大寫的 R 來表示。比如說，你的櫃子裡有兩包餅乾（2）、你牆上時鐘的圓周長度相當於 π 倍的直徑（π ≈ 3.14159...）、你地上正方形磁磚的對角線長度是邊長的 √2 倍（√2 ≈ 1.41421...）、你的女朋友有零個（0）、你只有負債 5 元而沒有存款（淨資產 -5），這些全都是實數的一種。

　　因為這些數字都有相對的大小關係，能夠互相比較（-5 < 0 < √2 < 2 < π），所以我們也可以畫一條線，像把尺一樣畫上等距的刻度，再把這些數通通標在線上：


（工具：GeoGebra 網頁版）

　　上述方法是由笛卡爾（沒有錯，提出「我思故我在」的那個笛卡爾）發明的。這樣的好處在於誰比誰大一目了然，而且只要把其中兩個點直直連起來，就能根據線段的長度得知兩個數相差多少，這種一維的參考系，稱為「數線」。


。座標平面和函數圖形

　　這玩意當然也不是只能這麼單純。我們只要把兩條數線以 90° 的直角組合起來，就能夠成為一個座標平面，讓數線上的無限多個點都對應一條數線：


（工具：GeoGebra 網頁版）

　　這樣，任何一對實數都可以對應到平面上的一個點，比如我挑五組數字，分別取名為 A、B、C、D、E：
　　A (1, 3)
　　B (3, 2)
　　C (-3, -1.5)
　　D (-5, 3)
　　E (4, -2)

　　標在座標平面上就會是這樣：



　　習慣上，我們會把橫軸設為 x 軸、縱軸設為 y 軸，所以我們可以說 A 點的 x 座標是 1、y 座標是 3，其他點也都同理。

　　利用座標平面，我們已經可以應付大部分的簡單需求了。拿上次的攝氏-華氏溫度轉換關係函數來作例：


　　計算 f(50) 得到 122，就能得知 50℃ = 122℉；計算 f(10) 得到 50，就能得知 10℃ = 50℉。我們把 x 座標當作攝氏溫度、y 座標當作華氏溫度，就能得到 (50, 122) 和 (10, 50) 兩個座標平面上的點。

　　試著再多抓幾個點，我們會發現這些點總是落在同一條直線上：



　　我們在高中一年級（中學四年級）的第一堂數學課裡，通常會學到實數具有「稠密性」，也就是說「在任意兩個實數之間一定可以找得到另一個實數」，所以 0 和 1 中間找得到 0.5、0 和 0.5 中間找得到 0.25、0 和 0.25 中間找得到 0.125……