Kinect & Circular Sector Collision Function

作者：JerryZ│2015-06-03 23:18:20│巴幣：2│人氣：657

2015.05.30

我唸高中時是第一類組的，其實對數學不是很了解，但自己很喜歡寫程式
一直以來我都認為程式跟數學沒什麼太大關係
但是當我要做這次的功能時，數學帶給我的震撼非常大
我開始相信數學是程式的最佳解了！也有了熱情去面對它！

不過我的基礎沒有很好，如果底下文章有謬誤請見諒，也歡迎各路高手指正:D

為了要讓琴鍵像翅膀一樣張開，而且又能被"碰觸"到

首先我就需要在程式內實作一個扇形的感應區

如果不斷移動的P點進入了這個扇形

就表示P點碰撞了扇形，而那個P點就是指Kinect偵測到的"右手掌"

我以Kinect偵測到的身體中心作為原點C

頭到身體中心的垂直距離作為半徑R

但因為手臂伸直的話絕對比這個R還要長

所以我加了300來確保扇形有一定範圍

扇形以U向量的兩邊展開θ角度(程式內以T表示θ)

我希望整個扇形剛好是上半身的距離，所以將θ設為90度

兩邊展開θ就變成了180度

在幾何學上，扇形可以當作是"角度區間"與"圓形"的交集

換句話說就是要判斷「P點跟C點間的距離小於R」
代入數學上的距離公式後，判斷變為「| P - C | < R」
　
接著要判斷「P點 - C點的向量，要落在U向量跟θ的角度範圍內」
這邊實在很難懂，無論是要代入數學公式或轉譯成程式....

查了一下發現這邊要用「內積(dot product)」來計算兩個向量的夾角
簡單來說
只要判斷「P - C向量」與「U向量」的「內積」是否小於θ就行了
咳咳...用到了內積就表示...
要用以前我高中很不願面對的「三角函數」來算了...
現在跟以前高中算三角函數的差別就在...我現在有Google能用！XDDD

搬出快忘光的「餘弦定理」！

移項後就變成了

有了Cosθ後，我要怎麼求出θ是多少呢？
以前高中沒教，是因為人類很難算常見角度(15,30,60,90)以外的角度
但現在是用電腦，所以查了一下Google後發現
有了Cosθ值可以利用「反餘弦函數」求出θ
在C#中只要呼叫Math.Acos就能調用反餘弦函數
　
一個判斷P點是否進入扇形的Function就這樣完成了！！