拋物線和橢圓的公切線

作者：驅逐王│2015-03-16 22:38:35│巴幣：0│人氣：399

在ptt上看到台大化工二階筆試出了一題：y=4*x^2和x^2/2+y^2/3=1的公切線方程式(https://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1301834920.A.8F1.html，No.21)，心血來潮打算解這題，不過我列了幾條式子後變深深覺得我的計算能力無法應付這題==，因此便向Matlab大神求助。

計算：首先設切線方程式為y=±a*x+b（因為切線左右對稱，我先假定a>0），將y分別帶入拋物線和橢圓的方程式內，整理成x的二元一次，然後因為切線是重根所以判別式=0（如果此線割過圖形則判別式>0，同理此線未碰觸圖形則判別式<0）。可以整理成兩條a、b的聯立方程式，只要解出a、b就可以得到切線。

程式：

syms a b

s=solve ('a^2+16*b=0','16*a^2*b^2-4*(3+2*a^2)*(2*b^2-6)=0')

s=[s.a,s.b]

總共有四組解：

1.[ 4*(259^(1/2) + 16)^(1/2), - 259^(1/2) - 16]

2.[ 4*(16 - 259^(1/2))^(1/2), 259^(1/2) - 16]

3.[ -4*(16 - 259^(1/2))^(1/2), 259^(1/2) - 16]

4.[ -4*(259^(1/2) + 16)^(1/2), - 259^(1/2) - 16]

2和3的a是虛數所以不考慮

因此兩條公切線方程式便是y=±(4*(259^(1/2) + 16)^(1/2))*x-259^(1/2)-16

最後用GeoGebra來畫圖驗證

第二張圖我調整了兩軸的寬度比(因為那個拋物線的切線實在是太不清楚了)，所以橢圓會變得扁扁的

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之後我又想要解出通解

橢圓：x^2/a^2+y^2/b^2=1

拋物線：y=c*x^2

公切線：y=±m*x+n

以下的內容看了會頭暈，不喜者可以先上一頁！！

m=2*(-c*(((16*c^2)/9 + (4*b^2*c -4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))/((((4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + (64*c^3)/27 -b^4/(8*a^2*c))^2 - ((16*c^2)/9 + (4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))^3)^(1/2) -(64*c^3)/27 - (4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + b^4/(8*a^2*c))^(1/3) - (4*c)/3+ ((((4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + (64*c^3)/27 - b^4/(8*a^2*c))^2 -((16*c^2)/9 + (4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))^3)^(1/2) - (64*c^3)/27 -(4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + b^4/(8*a^2*c))^(1/3)))^(1/2)

n=((16*c^2)/9 +(4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))/((((4*b^2*c - 4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) +(64*c^3)/27 - b^4/(8*a^2*c))^2 - ((16*c^2)/9 + (4*b^2*c -4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))^3)^(1/2) - (64*c^3)/27 - (4*b^2*c -4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + b^4/(8*a^2*c))^(1/3) - (4*c)/3 + ((((4*b^2*c -4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + (64*c^3)/27 - b^4/(8*a^2*c))^2 - ((16*c^2)/9 + (4*b^2*c- 4*a^2*b^2*c)/(12*a^2*c))^3)^(1/2) - (64*c^3)/27 - (4*b^2*c -4*a^2*b^2*c)/(6*a^2) + b^4/(8*a^2*c))^(1/3)

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