相對論(五)

作者：寂寞晴空塔│2012-08-27 09:33:58│巴幣：2│人氣：831

如果有兩物體相向而行，且速度都是大於光速的一半，那麼在伽利略轉換後很明顯的超光速了，但是狹義相對論告訴我們最快只能到光速，如此一來就跟伽利略轉換不同了，來看一下相對論中遇到這種情況會如何。
根據速度的定義

v = dr/dt, v_x = dx/dt

其中 r 有三個方向，我們只看 x 分量就好就好。在另一個座標系中所觀測到的速度為

v' = dr'/dt', v'_x = dx'/dt'

根據勞倫茲轉換，我們可以得到

v = (v_x + u)/(1 + uv_x/c^2)

現在帶入 u = c 看看會發生什麼事

v = (v_x + c)/(1 + cv_x/c) = c(v_x + c)/(c + v_x/) = c

所以一樣的回到最原始，還是不能超光速。
最後來談一下相對論中的動量與能量。在相對論中我們知道質量是速度的一個函數，考慮一個碰撞的情況，兩顆質量為 m 的球，一個速度為 v ，一個速度為 V ，方向相反做碰撞，在這個例子中我們會考慮到兩個守恆量：
質量守恆與動量守恆
如果兩顆球碰撞後黏在一起，也就是完全非彈性碰撞的話，末質量就是兩顆球的初始質量直接相加，所以質量會守恆，至於動量就是因為無外力作用，所以動量也會守恆。那麼根據兩個守恆量，我們可以先寫下數學式子：

質量守恆：m + m = M

動量守恆：mv + mV = MV'

MV'為質心系統所觀測到的動量。那麼現在將我們以速度為 v 的球為新的靜止坐標系，根據
相對論(二)中所提到的，我們所觀測到的另一顆球的速度為 u

u = 2v/[1+(v/c)^2]

此時兩個守恆量要改成

質量守恆：m + m(u) = M(V')

動量守恆：m(u)u = M(V')V'

兩式相除可得

[m + m(u)]/m(u) = u/V'

之後再解出m(u)/m的比例就可以得到

m(u) = m/[1-(u/c)^2]^0.5

其中 m(u) 我們稱作「動質量」、 m 稱為「靜止質量」。從上式我們可以發現動量的定義已經不再是像牛頓力學那樣了，那麼再根據動能與力的定義：