語言與邏輯淺談

甚麼是邏輯？

在日常語言中，「邏輯」有時被用作「定律」或「常理」的同義詞。例如，在語句「你說張三昨天死了，但這不合邏輯，因為他今早還有上學」中，所謂「不合邏輯」是指違反常理。另外又如在語句「這本科幻小說說某星球的溫度比絕對零度還低，這是不合邏輯的」中，所謂「不合邏輯」是指違反物理定律。以上兩例中所指的 邏輯究竟是否等同於邏輯學中所指的邏輯呢？

要回答上述問題，首先要了解邏輯學究竟是研究甚麼的？一般而言，邏輯學就是研究正確思維方式的學科。由於推理是人類思維中極重要的一部分，因此邏輯學中很大一部分的內容是研究正確的推理方式。推理的一般格式是給定某些前提(Premises)，然後根據這些前提推導出某些結論(Conclusion)。所謂「正確的推理方式」就是運用一些已被證實為正確的推理規則從前提一步一步推出結論。例如，根據前提「如果張三掉下海，他會淹死」和「張三掉下海」可以推出「張三會淹死」，可是卻不能從「如果張三掉下海，他會淹死」和「張三淹死 」推出「張三掉下海」，因為張三可能是在河中或泳池中淹死的。

邏輯學所研究的不是個別的推理，而是一般的「推理模式」，而這些推理模式可以用符號表示。例如上段的「 張三淹死」正確推理便可以表示為：給定前提「如果p，則q」和「p」，可以推出「q」(註1)，此推理稱為「 肯定前件式」(Modus Ponens)。反之，從「如果p，則q」和「q」卻不可以推出「p」。在上述正確推理模式中的p和q可以代表任何「命題」(Proposition)(亦作Statement，相當於語言學中的「陳述句」)，即如果把p和q 換為任何命題，該推理仍是正確的，而不管p和q這兩個命題是否真實或是否有意義。例如，假設p代表「太陽從東邊升起」，q代表「一加一等於三」，那麼以下推理雖然看似荒謬，但從邏輯上看去卻是正確的：根據前提「如果太陽從東邊升起，則一加一等於三」和「太陽從東邊升起」，可以推出「一加一等於三」。

請注意上段的推理之所以會推出「一加一等於三」這個錯誤結論，乃在於它的其中一個前提-「如果太陽從東 邊升起，則一加一等於三」是錯誤的，而不是整個推理模式有錯誤。因此邏輯學所關心的是整個推理模式的正 確性，而不是個別前提的正確性。邏輯學只能保證從正確的前提出發可以推出正確的結論，至於前提正確與否 ，並不屬於邏輯學的研究範圍，而須根據其他學科或常識作出判斷。

由此可見，邏輯學所指的正確推理方式是純粹從形式方面考慮的，而不考慮其實質內容，實質內容是其他學科 的研究範圍。這一點有點跟數學相似，這就是為何邏輯學與數學關係這樣密切，同被稱為「思維科學」的原因 了。

邏輯學的有用性不僅在於闡明個別的正確推理模式，還在於它可以把互相有關連的推理組成為一個推理系統， 而在邏輯學上最受人注目的推理系統就是「公理系統」。所謂公理系統，就是從一些不加定義的原始概念和不 加證明的原始命題(即公理Axiom)出發，利用邏輯學中的定義方法和正確推理模式逐步引出其他概念和推出其 他命題(即定理Theorem)。這樣，公理系統中的知識就不是雜亂無章，而是有嚴謹結構的。較後出現的定義和 定理須依賴較早出現的定義和定理(或公理)，層層相扣，整個知識體系井然有序，無懈可擊。

例如，古希臘數學家歐幾里德(Euclid)的名著《幾何原本》就是邏輯學中運用上述方法建構公理系統的代表作 。歐幾里德的公理系統從最初的若干個定義和10條公理(註2)出發，逐步推出全書286條定理。每條定理的證明 都是建基於該10條公理、先前定義的概念、先前已證明的定理以及正確的推理模式。由於《幾何原本》非常成 功地建立了幾何學的公理系統，它不僅成為西方以後二千多年的幾何學教科書，而且更成為其他學科公理化( Axiomatization)的楷模。例如荷蘭哲學家斯賓諾莎(Spinoza)便模倣歐幾里德的《幾何原本》撰寫其哲學著作 。偉大物理學家牛頓Newton的巨著《自然哲學的數學原理》也是模倣《幾何原本》的體例的，例如著名的牛頓 三大運動定律便是以公理的形式出現在他的著作的開首。

當然，《幾何原本》作為二千多年前的著作，它也不是毫無缺陷的。事實上，在其面世後的二千多年中便有不 少數學家指出它在某些地方還不夠嚴謹，例如它沒有採用某些「不加定義的原始概念」作為推理的起點，而是 強行對所有概念下定義(註3)，結果使某些概念(例如點、線、面等)的定義使用了常識性的語言，不夠嚴格。 此外，它的某些定理的證明在不自覺中使用了某些未被列為公理或未被證明為定理的事實，因而在邏輯上不夠嚴格。這些問題直至19世紀末大數學家希爾伯特(Hilbert)出版《幾何基礎》，重新建立歐幾里德幾何的邏輯基礎才最終解決。

公理系統是最嚴謹、最理想化的推理系統，可是並非所有知識體系都必須以公理系統的形式出現。其實很多涉及推理的文章或書籍(例如數學、物理學的推理以致一般的常識推理)都不以公理系統的形式表述其知識，但這並不代表這些文章或書籍的論述缺乏邏輯性。事實上，只要其立論是從一些已被證實或公認為基本正確的觀察 或前提出發，並使用正確的邏輯推理，那麼其定理或結論就是可靠和符合邏輯的。雖然這些觀察、前提、定理 和結論並不構成一個公理系統，但它們卻構成一個邏輯推理系統。

例如典型的牛頓力學(Newtonian Mechanics)教科書便是從運動學(Kinematics)的一些基本概念(如位移 Displacement、速度Velocity、加速度Acceleration)、有關力的合成和分解的概念以及牛頓運動三大定律出 發，逐步引出其他概念和推出其他公式、定理或結論(例如有關動量Momentum和機械能Mechanical Energy的各種概念和定理便是從前述概念和定律導出的)。雖然教科書可能會由於某些公式或定理的證明涉及艱深的數學 而予以略去或簡化，但這並不影響這一學科的邏輯性，因為這些公式或定理不是臆造出來的，讀者只要具備足夠的數學水平，便可在其他書籍找到並看懂這些公式或定理的嚴格證明。

說到這裡，我們可以把邏輯推理系統看作邏輯學與其他學科知識的結合。系統中的各種概念、觀察、公理不屬邏輯學的範圍，是其他學科的知識，但根據這些概念、觀察、公理推出的其他定理或結論卻是邏輯推理的結果 。因此，雖然我們說邏輯學所研究的對象是純形式的，不涉及實質內容，但是邏輯的應用卻經常涉及實質的學科知識。

現在可以嘗試解答本文第二段的問題：日常生活中人們常常提到的邏輯究竟是否等同邏輯學中所說的邏輯。答案是既是且否，視乎你採取哪一個角度看問題。從形式上說，第二段的兩個例子都與邏輯學中的推理模式不相干。它們所涉及的都是常識推理和科學知識，即邏輯學以外的知識。換句話說，光靠邏輯學的知識，是不能作 出本文第二段所述的兩個推理的。

但是，若從推理系統的角度去看，那麼上述兩個例子的推理又並非跟邏輯學毫不相干。先看看「絕對零度」的 例子。假如我們把物理學有關體積、溫度和壓強關係的理論看成一個邏輯推理系統，那麼「不存在低於絕對零度的溫度」便是其於這個系統的各種定義、觀察、前提而得的符合邏輯的結論。至於「張三死了」的例子，則是典型的日常推理的例子，其特點為省略了很多前提和中間推理環節。如果我們補上這些前提和中間環節，便可清楚看到其推理模式。例如，如果我們補上以下前提：「如果張三昨天死了，他今早便不會上學」，稱之為 (1)，再加上第二段給定的兩個前提「張三昨天死了」(2)和「張三今早上學」(3)，便可清楚看出該例子不合 邏輯的地方。對(1)和(2)使用「肯定前件式」推理，可以得出「張三今早不會上學」(4)，但(4)正好是(3)的 否定。由於這個推理系統同時肯定了(3)和它的否定，造成了矛盾，亦即是不合邏輯的。

綜上所述，邏輯有廣狹二義。狹義的邏輯是指邏輯學家專門研究或者邏輯學教科書、論文所討論的邏輯，這種邏輯一般都很形式化，並非所有人都接觸過。廣義的邏輯則泛指一般的推理，不一定很嚴格或形式化，也不一 定形成嚴密的邏輯推理系統。根據後一種定義，人們的日常生活其實在大量使用邏輯

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註1：以上寫法還未完全符號化，如果套用現代符號邏輯(Symbolic Logic，亦即數理邏輯Mathematical Logic )的其中一套符號系統，「如果p，則q」應寫為「p -> q」。

註2：歐幾里德把他的10條公理分為兩類，分別用不同的名稱稱之，其中五條公理涉及一般數學，他稱為「公 理」，其餘五條則是專門涉及幾何學的，他稱為「公設」。但從邏輯學的角度看，他的「公理」和「公設」在 本質上沒有甚麼分別，其實都是公理。

註3：任何一個公理系統均須預先確定一些「不加定義的原始概念」，所有其他概念的定義均建基於這些原始 概念。如果沒有這些「不加定義的原始概念」作為起點，那麼公理系統中的概念便無法定義，或者陷入循環定 義的泥潭。