各位好，這裡是生日不堪寂寞想找大家拍拍的伍德。趁著生日，今天的伍德說數就來帶大家聊聊在機率論和資訊安全領域小有名氣的「
生日悖論」(
Birthday Paradox)──別稱「為什麼好卡老是別人抽到」。
一、生日悖論(Birthday Paradox)
真要說起來，生日悖論其實就是下面的問題。
問題：如果假設一年365天內，每天出生的機率都一樣(2/29生日的朋友抱歉了)*1，那麼在一個30人的班級內，找到至少一對生日同天的同學機率大概為何呢？
(A) 0% (B) 10% (C) 40% (D) 70%
不知道大家從小到大有沒有碰過跟自己同天生日的人？雖說資訊發達的現代查個資料就能找到不少同天生日的名人，但永遠17歲的伍德在現實也只碰過一位。直覺來看，想在30人內找到一對同天生日的同學，機率似乎不是那麼大──如果這麼想，你就掉進陷阱裡了。上面題目的正確解答是(D)，非常可能。
問題出在哪呢？雖說碰到和自己生日同天的人機率確實不大，但「和別人撞生日」以及「看到撞生日的人」本來就是不一樣的事情。如果想找到和自己同天生日的人，每個人和你不同天生日的機率是364/365，由於每個人生日獨立(不相互影響)，n個人的生日和你都不一樣的機率就是(364/365)^n (n次方)。要多少人才能讓找到和你同天生日的機率大於一半呢？我們得算出1-(364/365)^n>0.5中的n，而n>252.###。也就是說，需要找253個人，找到和你同天生日的人機率才會過半。
另一方面，要是抓了n個人來，第二個人不跟第一個人撞生日的機率是364/365，第三個人不跟前兩個人撞生日的機率是363/365，以此類推。我們要解的式子變成
1-(364/365)*(363/365)*...*[(366-n)/365]>0.5
大家應該可以看出兩者不一樣了。而這裡的n>22.###，也就是說，只需要23個人，就有一半以上的機率會找到一對生日相同的人！
一種直觀理解生日悖論的方式，是在n人中，若要找出和自己生日相同的人，總共進行了n次比對；而要在這n人中找到同樣生日的人，兩兩比對的結果總共進行了n(n-1)/2次比對。而後者顯然比前者大上許多，因為不只和你自己的比對，其他人也要進行比對──世界不會只繞著一個人打轉。
如果這樣的說明難以讓讀者滿意，讀者可以在家裡進行實驗(神奇了，數學專欄也能談實驗)：找張白紙，用筆將其畫為16等分(或你喜歡的任何數字)後，開始丟擲硬幣。先丟一次，並將丟到的格子塗成黑色。
第一階段的實驗中，讀者只要小心不要丟到那個黑色的格子即可。
第二階段的實驗中，讀者除了要小心不要碰到黑色的格子外，在每一次丟擲，都要把碰到的格子塗黑。相信不出幾次，應該就會有難以找到落腳之處的困窘感(至少在第17次，你就一定找不到落腳處了)。
第一階段的實驗就相當於找一個和你同天生日的人，第二階段則是在一群人中找具有相同生日的人。
二、類題--有幸運兒這件事情真的很幸運嗎？
過年時，許多廟宇會舉辦擲筊大賽，能夠擲出最多次聖筊的人往往都能獲得優厚的獎金(創業金)或獎品。在媒體上常能看到一些廟宇的聖筊大賽出現了連擲10個聖筊或甚至以上的幸運兒，相信大多數的讀者應該都沒親身碰過這種情況。但是，站在廟方的角度，在參加者中出現如此的幸運兒，真的那麼「幸運」嗎？
我們假設擲出「聖筊」的機率是0.5，參加人數為300人(從諸多新聞稿上來看，這還是嚴重低估了。許多廟宇初賽的參加者多達千人以上，決賽大部分都取300餘名)，而所謂幸運兒是連續擲出十次聖筊以上的人。
和生日悖論一樣，我們計算沒有幸運兒的機率，再將其扣掉。這個機率為
1-(1023/1024)^300=25%。相比你自己成為幸運兒的機率1/1024高上非常多。順帶一提，要是把幸運兒的資格放寬為9次聖筊，出現幸運兒的機率將升高到44%。值得注意的是，全台灣有許多廟宇都會舉辦類似比賽，雖未必在同一廟宇比賽，但實際上的參加者想必比300人高出不少。所以話說回來，當新聞媒體大肆報導有人擲出十個聖筊，似乎也不是幸運到值得被稱為奇蹟的事情。
同理，當伍德每次抽卡時，總覺得自己又暴死，正想懷疑機率是不是又被調的時候，看到許多人貼出抽到限定的截圖就覺得心癢癢的。但從生日悖論的眼光來看，出現抽到好卡的人的機率本來就不低(雖然自己抽到的機率還是很低)，也只能認命繼續農資源或乾脆去寫小說(?)。
三、結論
生日悖論之所以會稱為悖論，並非因為它是錯的，而是因為它反直覺的答案。所謂真正的隨機，是很容易發生重複或相撞的情形的。用吃的來比喻，像我們吃燒餅時，上面灑滿均勻的芝麻，其實並不是隨機灑的，而是為了讓它均勻而刻意為之；若真的隨機灑，可能某幾口裡面就全都是芝麻了。
從生日悖論那麼高的機率來看，或許各位從小到大的班級中，早就出現過有相同生日的人了呢！(順帶一提，伍德高中的班級就有三對相同生日的人)
那麼我是伍德‧瓦懷特，我們下期伍德說數見！
(然後可以順便祝我生日快樂嗎XD)
*1. 實際看戶政資料，其實這個假設不太對。某幾個月份的寶寶就是特別多。這裡為了簡化計算才做假設。
創作內容
生日的數學--談生日悖論(Birthday paradox)
魔都妖探 (1)
