在超商，當我們遇到很感興趣的隨機贈品時，會想要全部收集
但是，既然是隨機的，那麼能拿到哪種就不是我們所能控制的，只能靠運氣
比如說……全部有4種，每種拿到的機會均等，平均要幾次才能全部收集？
去問朋友這問題，如果不是答非所問的「有重複就跟人換」，大都是搬出期望值
「(4/4)+(4/3)+(4/2)+(4/1)= 8.333」
然後說平均要8次或9次，甚至認為 8.333 次是平均的機率
也就是說，運氣好一點的，8次以內就能全部收集，運氣差了一些的要9次以上
可是，拿期望值判斷會準嗎
假設共2種，期望值：(2/2)+(2/1)= 3次
而機率呢……
「○○ ○Ｘ Ｘ○ ＸＸ」
一目了然，買2次能全收集的機率為 2/4
買3次的話…
「○○○ ○○Ｘ ○Ｘ○ ○ＸＸ
ＸＸＸ ＸＸ○ Ｘ○Ｘ Ｘ○○」
扣掉全部相同的組合，機率提高到 6/8
所以期望值只是用來判斷個大概而已，且一定是大於實際次數的安慰劑
例：6種的期望值：14.7次
但13次能全收集的機率：51.3858%
例：10種的期望值：29.29次
但27次能全收集的機率：51.9634%
例：31種的期望值：124.845次
但118次能全收集的機率：50.572%
共4種，每種拿到的機會均等，平均要幾次才能全收集？
4次能全收集，機率：24/256
【1,1,1,1】種類4選4，位置4選1、3選1、2選1、1選1= 1*4*3*2*1= 24
5次能全收集，機率：240/1024
【2,1,1,1】種類4選1，位置5選2。種類3選3，位置3!= 4*10*1*6= 240
6次能全收集，機率：1560/4096
【3,1,1,1】種類4選1，種類3選3，6!/3!/1!/1!/1!= 4*1*120= 480
【2,2,1,1】種類4選2，種類2選2，6!/2!/2!/1!/1!= 6*1*180= 1080
7次能全收集，機率：8400/16384（51.27%）
【4,1,1,1】4C1，3C3，7!/4!= 4*1*210= 840
【3,2,1,1】4C1，3C1，2C2，7!/3!/2!= 4*3*1*420= 5040
【2,2,2,1】4C3，1C1，7!/2!/2!/2!= 4*1*630= 2520
7次已經超過了50%
8次能全收集，機率：40824/65536（62.29%）
【5,1,1,1】4*1*336= 1344
【4,2,1,1】4*3*1*840= 10080
【3,3,1,1】6*1*1120= 6720
【3,2,2,1】4*3*1*1680= 20160
【2,2,2,2】1*2520= 2520
用一般方式計算，計算式會過於繁雜容易出錯，當發現機率總合≠1，會熊熊想翻桌
第1次怎樣都行，有④種選擇，機率 4/4
第2次不能跟前一次的相同，剩③種選擇，機率 3/4
第3次不能跟前兩次的相同，剩②種選擇，機率 2/4
第4次不能跟前三次的相同，剩①種選擇，機率 1/4
「④③②①」= 4!= 24
共4種，4次能全收集的機率：(4/4)*(3/4)*(2/4)*(1/4)= 4!/4⁴= 24/256
以此類推……
共2種，2次能全收集的機率：2!/2²
共6種，6次能全收集的機率：6!/6⁶
共10種，10次能全收集的機率：10!/10¹⁰
比種數多1次能全收集的機率，撇步就是乘以「種數的集合（Σ）」
第1次不可能出現重複的
當重複的出現在第2次時，重複的只有1種選擇，機率 1/4 「④➊③②①」= 1*4!
當重複的出現在第3次時，重複的會有2種選擇，機率 2/4 「④③➋②①」= 2*4!
當重複的出現在第4次時，重複的會有3種選擇，機率 3/4 「④③②➌①」= 3*4!
當重複的出現在第5次時，重複的會有4種選擇，機率 4/4 「④③②①➍」= 4*4!
共4種，5次能全收集的機率：(1+2+3+4)*4!/4⁵= 240/1024
以此類推……
共2種，3次能全收集的機率：3*2!/2³
共6種，7次能全收集的機率：21*6!/6⁷
共10種，11次能全收集的機率：55*10!/10¹¹
比種數多2次能全收集，表示第1次後面的5次會有2次是重複的，5選2有10組
當重複的出現在…
第2和第3次「④➊➊③②①」= 1*1*4!
第2和第4次「④➊③➋②①」= 1*2*4!
第2和第5次「④➊③②➌①」= 1*3*4!
第2和第6次「④➊③②①➍」= 1*4*4!
第3和第4次「④③➋➋②①」= 2*2*4!
第3和第5次「④③➋②➌①」= 2*3*4!
第3和第6次「④③➋②①➍」= 2*4*4!
第4和第5次「④③②➌➌①」= 3*3*4!
第4和第5次「④③②➌①➍」= 3*4*4!
第5和第6次「④③②①➍➍」= 4*4*4!
●○：(1+2+3+4+4+6+8+9+12+16)*4!= 65*4!
共4種，6次能全收集的機率：65*4!/4⁶= 1560/4096
到此，結構應該比較清楚了，是由 重複的● 搭配 不重複的○
○數量，4種收集到4種，固定有「④③②①」= 4!種
而●數量就費勁多了，要用到《Stirling numbers of the second kind》
比種數多3次能全收集，表示第1次後面的6次會有3次是重複的，6選3有20組
當重複的… (ノ￣△￣)ノ┴─┴
「很麻煩吶！有沒有現成的計算機可用？」
【カードの種類】輸入「4」
【お菓子を買う個数】輸入「5」
按【計算】
全種類集まる確率「23.4375」%
共4種，5次能全收集的機率：23.4375%
共4種，6次能全收集的機率：38.0859%
共4種，7次能全收集的機率：51.2695%
共4種，8次能全收集的機率：62.2925%
當年小七 Hello Kitty 31種磁鐵(不含隱藏版)
共31種，117次能全收集的機率：49.3835%
共31種，118次能全收集的機率：50.5720%
「有好用的計算機，早說嘛！所以主題的答案是…… Errr…」
如果沒有全收集的計算機，那機率該如何簡單又準確的求出來？
首先要作表格，上列為次數，左行為種數（個人認為這樣符合座標又好對照）
一、1種的數值不管幾次都是「1」
二、2種的數值要減掉全部相同的，即「1-1, 2-1, 4-1, 8-1, 16-1, 32-1……」
三、次數和種數相同時，數值為「1」
四、次數比種數多1時，數值為種數的集合（Σ）
五、該格＝左格×種數＋左上格
例：(4次,2種)= 3*2+1= 7
例：(7次,4種)= 65*4+90= 350
共4種，7次能全收集的機率？
ANS：
●：7次收集到4種，(7次,4種)= 350
○：4種收集到4種，有4!種排列方式
機率：350*4!/4⁷= 8400/16384= 51.2695%
為了說明「該格＝左格×種數＋左上格」的由來
將「51.2695%」分解成…
一、前6次就已經全收集的機率：65*4!/4⁶= 1560/4096= 38.0859%
二、剛好在第7次全收集的機率：90*4!/4⁷= 2160/16384= 13.1836%
「38.0859%」的部分
前6次就已經全收集了，那第7次不管拿到哪種都無所謂，4/4 機率一定會是全收集
即「65」→「65*4/4」
這就是「左格×種數」的由來
「13.1836%」的部分
共4種，剛好在第7次全收集，為什麼是使用 3種能6次全收集的數值「90」？
其實「3種能6次全收集」和「4種能6次收集到3種」，重複的情況完全一樣
③➊➊➊②① ④➊➊➊③②
③➊➊②➋① ④➊➊③➋②
③➊➊②①➌ ④➊➊③②➌
③➊②➋➋① ④➊③➋➋②
③➊②➋①➌ ④➊③➋②➌
③➊②①➌➌ ④➊③②➌➌
③②➋➋➋① ④③➋➋➋②
③②➋➋①➌ ④③➋➋②➌
③②➋①➌➌ ④③➋②➌➌
③②①➌➌➌ ④③②➌➌➌
●：1+2+3+4+6+9+8+12+18+27= 90
然後在第7次的時候，是不是就有 1/4 機率拿到所缺的第4種而達成全收集呢
這就是「＋左上格」的由來
這表格不止能計算全收集的機率，還可以計算收集到多少種的機率
共4種，2次能收集到1種~4種的機率
1種：1*4Ｃ1*1!/4²= 4/16
2種：1*4Ｃ2*2!/4²= 12/16
3種：0*4Ｃ3*3!/4²= 0/16
4種：0*4Ｃ4*4!/4²= 0/16
共4種，3次能收集到1種~4種的機率
1種：1*4Ｃ1*1!/4³= 4/64
2種：3*4Ｃ2*2!/4³= 36/64
3種：1*4Ｃ3*3!/4³= 24/64
4種：0*4Ｃ4*4!/4³= 0/64
共4種，4次能收集到1種~4種的機率
1種：1*4Ｃ1*1!/4⁴= 4/256
2種：7*4Ｃ2*2!/4⁴= 84/256
3種：6*4Ｃ3*3!/4⁴= 144/256
4種：1*4Ｃ4*4!/4⁴= 24/256
共4種，5次能收集到1種~4種的機率
1種： 1*4Ｃ1*1!/4⁵= 4/1024
2種：15*4Ｃ2*2!/4⁵= 180/1024
3種：25*4Ｃ3*3!/4⁵= 600/1024
4種：10*4Ｃ4*4!/4⁵= 240/1024
所以……
共4種，7次能收集到1種~4種的機率
1種： 1*4Ｃ1*1!/4⁷= 4/16384
2種： 63*4Ｃ2*2!/4⁷= 756/16384
3種：301*4Ｃ3*3!/4⁷= 7224/16384
4種：350*4Ｃ4*4!/4⁷= 8400/16384
主題：隨機商品有10個種類，每種拿到的機會均等，買12個最有可能拿到幾種？
⑴ 6種
⑵ 7種
⑶ 8種
⑷ 9種
⑸ 怎樣都有可能啊！只要機率不是0都很難說啦！
1種： 1*10Ｃ 1* 1!/10¹²= 10/10¹²
2種： 2047*10Ｃ 2* 2!/10¹²= 184230/10¹²
3種： 86526*10Ｃ 3* 3!/10¹²= 0.0062%
4種： 611501*10Ｃ 4* 4!/10¹²= 0.3082%
5種：1379400*10Ｃ 5* 5!/10¹²= 4.1713%
6種：1323652*10Ｃ 6* 6!/10¹²= 20.0136%
7種： 627396*10Ｃ 7* 7!/10¹²= 37.9449%
8種： 159027*10Ｃ 8* 8!/10¹²= 28.8539%
9種： 22275*10Ｃ 9* 9!/10¹²= 8.0832%
10種： 1705*10Ｃ10*10!/10¹²= 0.6187%
另外，還可以拿來解「擲骰子12次，只剩1點和4點沒有出現」這類的機率
雖然有基礎後就簡單多了，但不對照容易混淆，會寫在下一篇創作
創作內容
【機率】隨機商品有10個種類，每種拿到的機會均等，買12個最有可能拿到幾種？
RO仙境傳說 (11)